高等数学下册知识总结

高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-2-第八章总结向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作或aaaaABaaaa(,,)xyzxyzaiajakaaa,,xxyyzzaprjaaprjaaprja模向量的模记作aaaaaaaaaaaa222xyzaaa和差cabcabcabcabcabcabcabcab－cabcabcabcab,,xxyyzzababab单位向量，则0aaaaaaaaaaaaeeeeaaaaaaaaeeee222(,,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设与轴的夹角分别为，则aaaa,,xyz，，方向余弦分别为cos，cos，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosaaaaeeee(，cos，cos)222cos1+coscos点乘（数量积），为向量aaaa与bbbb的夹角cosbbbbaaaabbbbaaaazzyyxxbabababbbbaaaa叉乘（向量积）bbbbaaaaccccsinbbbbaaaacccc为向量aaaa与bbbb的夹角向量与，都垂直ccccaaaabbbbzyxzyxbbbaaakkkkjjjjiiiibbbbaaaa定理与公式垂直0000abababababababab0000xxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzabababababababababababababababab平行//0//0//0//0abababababababab////////yyyyzzzzxxxxxyzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaaababababbbbbbbbbbbbb交角余弦两向量夹角余弦bbbbaaaabbbbaaaacos222222222222222222222222coscoscoscosxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzababababababababababababaaabbbaaabbbaaabbbaaabbb投影向量在非零向量上的投影aaaabbbbcos()cos()cos()cos()bbbbababababprjaaabprjaaabprjaaabprjaaabbbbb222222222222xxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzbbbbxyzxyzxyzxyzababababababababababababprjaprjaprjaprjabbbbbbbbbbbb高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-3-平面直线法向量点{,,}nABCnABCnABCnABC),,(0000zyxM方向向量点{,,}TmnpTmnpTmnpTmnp),,(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzxyzxyzxyzabcabcabcabc两点式000101010xxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面平行212121CCBBAA线线平行212121ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离),,(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDdABC面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111CBAn},,{2222CBAn},,{1111pnmssss},,{2222pnmssss},,{pnmssss},,{CBAnnnn121212222222111222cos||AABBCCABCABC121212222222111222cosmmnnppmnpmnp222222sinAmBnCpABCmnp高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-4-空间曲线：()()()xtytzt，，，)(t切向量))(,)(,)((000tttT切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx法平“面”方程：0))(()()()()(000000zztyytxxt()()yxzx切向量))(,)(,1(xxT切“线”方程：)()(100000xzzxyyxx法平“面”方程：0))(()()()(00000zzxyyxxx空间曲面：：：：0),,(zyxF法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz0000((,),(,),1)xynfxyfxy或0000((,),(,),1)xynfxyfxy切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法“线“方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-5-第十章总结重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质量质量=面密度面积（1）利用直角坐标系X—型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y—型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(P141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)22()xy21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd0202P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)DfxyxfxyfxyIfxydxdyfxyxfxyfxyDD对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-6-三重积分dvzyxfI),,(空间立体物的质量质量=密度面积(1)(1)(1)(1)利用直角坐标截面法投影法投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2222）利用柱面坐标cossinxryrzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围适用范围适用范围适用范围::::1111○积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体2222○被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()fxyfxz21()()(,,)ddd(cos,sin,)dbrarfxyzVzfzP161—例3（3333）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzrdvrdrdd2sin适用范围:1111○积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.2○被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()fxyz222111(,)2(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindIfP165—10-(1)（4444）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学下知识网络图沈阳师范大学杨老师-7-第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分LdsyxfI),(曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1）:()LyxdtttttfI)(')('))(),((22（2）():()()xtLtytdxxyxyxfIba)('1))(,(2（3）()()rr()cos:()sinxrLyrdrrrrfI)(')()sin)(,cos)((22P189-例1P190－3平面第二类曲线平面第二类曲线平面第二类曲线平面第二类曲线积分积分积分积分LQdyPdxI变力沿曲线所做的功（1111）参数法（转化为定积分）():()()xtLtyt单调地从到ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{ddP196-例1、例2、例3、例4（2222）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3333）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①②yPxQ0LQdyPdx③与路径无关，与起点、终点有关LQdyPdx④具有原函数QdyPdx),(yxu（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P211-例5、例6、例7（4444）两类曲线积分的联系LLdsQPQdyPdxI)coscos(空间第二类曲线空间第二类曲线空间第二类曲线空间第二类曲线积分积分积分积分LIPdxQdyRdz变力沿曲线所做的功（1111）参数法（转化为定积分）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{（2222）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数P240-例1高等数学下知识网