平行四边形的性质与判定

中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第1页共15页特尔教育一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：张老师授课时间：2014年4月日(星期)姓名年级八性别学习内容平行四边形的判定和性质上课次数学习目标熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及平行四边形的判定理，并运用它们进行有关的论证和计算通过归纳、整理平行四边形的性质及判定，感受数学思考过程的条理性，发展学生的收集、整理、小结、概括的能力难点重点难点：平行四边形的性质与判定的综合运用重点：熟练运用平行四边形的性质、判定解答一、中考知识清单1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．平行四边形的性质...对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．边两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：对角线互相平分3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理．学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．的四边形是平行四边形中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第2页共15页ABFOCED4、基本思想方法研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究．5、平行四边形知识的运用（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题.如求角的度数、线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题．二、典例分析例1．如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC．求证：四边形ABCD是平行四边形．例2．已知：如图2，在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm．解析：由平行四边形的性质知，AD∥BC，得∠AEB=∠EBC，又BF是∠ABC的平分线，即∠ABE=∠EBC，所以∠AEB=∠ABE．则AB=AE=4cm．所以DE=AD－AE=7－4=3（cm）．又由AB∥CD，则∠F=∠ABE，所以∠F=∠AEB．因为∠AEB=∠FED，所以∠F=∠FED，故DF=DE=3cm．中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第3页共15页例3．已知：如图3，在平形四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE=∠BCF，AD=BC．又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．例4．已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB，连接FC．求证：四边形AEFC是平行四边形．证明：利用定义判定，即证明对边分别平行．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∵ED=EB，∴∠B=∠BDE．∴∠BDE=∠ACB，∴EF∥AC．又∵E是AB的中点，∴DB=DC．∵DF=EB，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．∴∠BED=∠F．∴AB∥CF．故四边形AEFC是平行四边形．评注：本题还可以利用“一组对边平行且相等”、“两组对角分别相等”来证明，但较繁杂．有兴趣的同学，自己来证明．例5．如图5，BD是ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形）．ADCBFE(图2)ADBCEF(图5)(图3)ＡＤＣＢＦＥ(图4)BACEFＤ中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第4页共15页解析：由平行四边形的定义知，AD∥BC，得∠BAD＋∠ABC=180°．已知∠A=125°，故∠B=180°－125°=55°．例6.一题多变，培养应变能力已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE=OF．证明:∵变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？图1ABCDOEFABCDOEF1-1ABCDOEF1-2ABCDOEFGH变式2ABCDOEFGH2-3ABCDOEFGH2-1ABCDOEFGH2-2ABCDOEF变式3ABCDOEF3-1ABCDOEF3-2中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第5页共15页三、中考题组一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是．【答案】122．图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在BC、CD上，AHBC，AGCD，且AH、AC、AG将BAD分成1、2、3、4四个角。若AH=5，AG=6，则下列关系何者正确？(A)1=2(B)3=4(C)BH=GD(D)HC=CG。【答案】A3．（2010重庆綦江县）如图，在ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC②∠CDF＝∠EAF③△ECF是等边三角形④CG⊥AEABCDGH1234图(十)中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第6页共15页GFEDCBAA．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④【答案】B4．（2010山东临沂）如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，4AB，则OE的长是（A）2（B）2（C）1（D）12【答案】A5．（2010湖南衡阳）如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=24，则ΔCEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.5【答案】A6．（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）EODCBA（第7题图）中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第7页共15页A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C二、填空题1．（2010福建福州）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为_______．(第1题)【答案】212．（2010福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．【答案】43．（2010山东滨州）如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为.【答案】234．（2010山东潍坊）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F是AB边上的一点，过点F作FE∥BC交CA于点E，过点E作ED∥AB交于BC于点D，则四边形BDEF的周长是．【答案】24cm5．（2010湖南常德）如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为.（填一个即可）.第2题图FAEBCD中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第8页共15页【答案】ABCDACAD或或∥BC等6．（2010湖南郴州）如图，已知平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDFBEF△≌△，这个条件是．（只要填一个）【答案】DCEB=或CFBF=或DFEF=或F为DE的中点或F为BC的中点或ABBE或B为AE的中点三、解答题1．（2010浙江嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且CFAE．（1）求证：BFDE；（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）【答案】（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴BFDE．…5分（2）连结BD，如图，图中有三对全等三角形：△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，DBCA图2ABEFDC第16题ABDCEF（第1题）ABDCEF（第1题）中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第9页共15页△ABD≌△CDB．…3分2．（2010嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。【答案】（1）AE＝EF（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证△AEH≌△FEC）（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF3．（2010福建晋江）（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②CDAB，③CA，④180CB．已知：在四边形ABCD中，，；求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以.ABCD中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官网：第10页共15页已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③CA.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC∴180BA，180DC∵CA，∴DB∴四边形ABCD是平行四边形4．（2010江苏宿迁）（本题满分8分）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．【答案】证明：连接BD交AC于O点∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD又∵AE=CF∴OE=OF∴四边形BEDF是平行四边形∴∠EBF=∠EDF5．（2010湖北省咸宁）问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S，△EFC的面积1S，△ADE的面积2S．探究发现（2）在（1）中，若BFa，FCb，DE与BC间的距离为h．请证明2124SSS．拓展迁移（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）BCDFE图1A1S2SS362CABDEFO中小学个性化教育辅导专家提分热线：0377—60671777特尔官