振动物理力学答案

第九章振动思考题9.1什么叫作简谐振动？如某物理量x的变化规律满足)cos(qptAx，A、p、q均为常数，能否说x作简谐振动？答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足动力学方程02022xdtxd，且0由振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足运动学方程)cos(0tAx，且0由振动系统本身性质决定，A、由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以0x和xv0分别表示0t时物体的初始位移和初始速度，则式中202020xvxA；可由Ax0cos、Avx00sin和000xvtgx三式中的任意两个来决定。上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，A、是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。如某物理量x的变化规律满足)cos(qptAx，A、p、q均为常数，不能说x作简谐振动。因为常数p必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且A、q是由系统初始条件决定的常数时，才可以说x作简谐振动。9.2如果单摆的摆角很大，以致不能认为sin，为什么它的摆动不是简谐振动？答：对质量为m的摆球，当摆角很大时，sin，其切向力mgmgfsin，不是角位移的线性回复力。由牛顿定律得：sin)(22mgdtldm即0sin22lgdtd令lg20，有0sin2022dtd因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。9.3在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间t内的振动次数N，确定振动频率tNf，从而确定f20；又mk20，则可间接测量出物体的质量：22204fkkm（质量在太空中不变）。9.4将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？答：设弹簧原长0l，质量m不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长l，则Flkmg。由胡克定律llYSFn0，对比可得其劲度系数0lYSk。当弹簧剪掉一半时，021ll，即kk2。设原弹簧振子频率为1f，剪后为2f，则41.12:21212mkmkff所以122ff，频率增大为原来的2倍。9.5将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：由mk0可知，当有乘客时，10mmk。所以，当有乘客时，其固有频率会减小。9.6一弹簧振子（如图9.1）可不考虑弹簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？答：（1）用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m；（2）测出弹簧原长0l，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度l，计算出弹簧伸长量0lll。在平衡位置，lkmg，即可确定劲度系数lmgk；（3）计算出固有频率mk0。9.7两互相垂直的简谐振动的运动学方程为)cos(101tAx，)cos(202tAy。若质点同时参与上述二振动，且212，质点将沿什么样的轨道怎样运动？答：合振动的轨道方程为：1222212AyAx。轨道为以x和y为轴的椭圆。由于212，故y方向的振动比x方向的振动超前2，质点沿椭圆顺时针方向运动。9.8“受迫振动达到稳态时，其运动学方程可写作)cos(tAx，其中A和由初条件决定，即策动力的频率。”这句话对不对？答：不对。A和并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。9.9“策动力与固有频率相等，则发生共振。”这句话是否准确？答：不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为2202，即位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率0；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。而速度共振的条件是0，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。习题9.2.1一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：设刚体静止时，OC沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置，使OC与竖直方向夹一小角，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。以表示OC的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以z表示重力矩，则hmghmgzsin（因很小，sin）重力矩z与角位移成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。由转动定律得：hmgdtdI22令Ihmg20，则02022dtd所以，刚体简谐振动的固有频率Ihmg0。9.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：设物m处于平衡位置时，1k弹簧伸长1l；2k弹簧伸长2l，则2211lklk。取平衡位置为坐标原点O，建立O—X坐标系。当物m受扰动向X轴正向位移x时，物m受力：21FFF)()(2211xlklxk所以，Fkxxkk)(21由牛顿定律F22dtxdm得xkkdtxdm)(2122令mkk2120，则弹簧的振动微分方程可表示为：02022xdtxd所以，固有频率mkk210。9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1，若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？解：1k弹簧振子的频率：mk11若使1k串2k弹簧振子的频率：mkmkmkmk44212111112故1k串2k后的等效劲度系数为41kk时，可满足要求。取振子m静止时（平衡位置）为坐标原点O，建立O—X坐标系。在平衡位置时，1k弹簧伸长1l；2k弹簧伸长2l，且mglklk2211。当振子m位移x时，1k弹簧伸长（1l+1x）；2k弹簧伸长（2l+2x）。设xxx21。………………………………………………（1）则振子m受的弹力可表示为)()(111222xlkxlkf。1122xkxk……………………………………………（2）因此，振子m所受合力：kxxkxlkmgF22222)(……………（3）联立（1）（2）（3）得2121kkkkk取41kk，则412121kkkkk，解得312kk。9.2.4单摆周期的研究。（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内。（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内。（3）单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期。摆长为l。解：（1）以非惯性系车厢为参照系，建立自然坐标系。以摆球为研究对象，摆球受重力gm、张力T、惯性力amf。在平衡位置O处：gm+T+f=0水平方向：0sinmaT竖直方向：0cosmgT由此得摆球在平衡位置时摆线与竖直方向夹角满足gatg。当摆球偏离平衡位置的角位移为时，由牛顿定律得（切向）22)cos()sin(dtdmlmamg由于很小，取1cos,sin，上式整理为22)sin(cos)cos(sindtdlag又gatg，cossinag，22sinaga，22cosagg，在切向的牛顿定律可表示为：02222lagdtd令lag2220，则单摆的振动微分方程可表示为：02022dtd。所以，周期22022aglT。（2）以加速度a上升的电梯为参照系，摆球受重力gm、张力T、向下的惯性力amf。在平衡位置O处，摆线在竖直方向，有gm+T+f=0。当摆球偏离平衡位置的角位移为时，由牛顿定律得（切向）22cossindtdmlmamg由于很小，取sin，上式整理为：022lagdtd令lag20，所以，周期aglT220。（3）同理可求出加速度a（ag）下降的电梯内单摆的振动周期为aglT2。9.2.5在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为s/1013。设想各原子间彼此以弹簧连接。、一摩尔银的质量为108g且包含231002.6个原子。现仅考虑一例原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。解：设一列原子中的某个原子质量为m，且231002.6108.0m㎏，其平衡位置为O，建立O—X坐标系，考察该列原子水平方向的振动。当该原子偏离平衡位置位移为x时，在x方向受力：kx2由牛顿定律得kxdtxdm222即0222xmkdtxdm，振动频率mk220由题意sf/10230，而mkf221所以mNmfk/3541002.6108.0102)2(212326229.2.6一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为20g，现将弹簧自平衡位置拉长22cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s，求该振子的运动学方程（SI）。解：（该题有误：设振子质量为m=200g=0.2㎏，才能与答案相符。）100.72.08.9sradmk振幅mvxA222222202020100.30.7)100.7()1022(初相radtgxvtg34.047.19)1022(0.7100.7)(02210001所以，振动方程为])[34.07cos(100.3)cos(20SIttAx9.2.7质量为1.0103g的物体悬挂在劲度系数为1.0106dyn/cm的弹簧下面。（1）求其振动的周期。（2）在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s求运动学方程。解：（1）skmT199.062.3121000122（2）0t时0x=+0.5㎝=+5×10－3m；0v=+15㎝/s=+0.15m/s设振动方程为)cos(0tAx0t时，cos0Ax，sin00Av式中100020mk由振幅公式mvxA32232020201089.6100015.0)105(初相242.049.43)105(62.3115.0)(0310001tgxvtg所以)242.06.31cos(680.0tx㎝。9.2.8(1)一简谐振动的运动规律为)48cos(5tx，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为)3sin(8tx，若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。解：（1）若计时起点提前0.5s，则提前后的时间t和t的关系为5.0tt，即5.0tt，代入方程得)448cos(5tx，其初相位为44