直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

1直线的倾斜角与斜率讲义一引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.问:倾斜角α的取值范围是什么?0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图,直线a∥b∥c,那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点．．．P．和一个倾斜角α．．．．．．．.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如,α=45°时,k=tan45°=1;α=135°时,k=tan135°=tan(180°－45°)=-tan45°=-1.学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三)直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；2(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略).例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.二、题型归纳：【训练1】已知直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）30（2）45（3）65（4）32（5）135【训练2】根据斜率求倾斜角：（1）当1,____,(2)3,_____kk【训练3】已知直线l的倾斜角是直线1l的2倍，且3tan1，求直线l的斜率。【训练4】（1）若直线l的倾斜角取值范围为2[,],33则斜率的取值范围是____________；（2）若直线l的斜率的取值范围是[1,3]，则其倾斜角的取值范围是______。【训练5】已知直线l过)3,(),2,1(mBA两点，求直线l的斜率和倾斜角。3y3l2lx1l【训练6】设点)1,3(P,点Q在y轴上，若直线PQ的倾斜角为120，求点Q的坐标。【训练7】若三点)4,()0,4()8,0(mCBA共线，求实数m的值。【训练8】已知点Ａ（－２，３），Ｂ（３，２），过P(0，－２)的直线与线段ＡＢ总有公共点，求直线l的斜率的范围。【变式】已知A（-1，3），B（2，2），直线l：（2m+1）x+(m-1)y-3m=0与线段AB总有公共点，求m取值范围三、强化训练：1、若图中的直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则123,,kkk的大小关系是___________。2、已知直线的斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为。3、已知直线l的倾斜角为，且1312cos，则此直线的斜率为。4、若过点)2,3(),1,1(aQaaP的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是。5、已知直线l的倾斜角为，且1350，则直线l斜率的取值范围是（）A.),0[B.),(C.),1[D.),0[]1,(6、若直线AB的斜率为2，将直线绕点A按逆时针方向旋转45后，所得直线的斜率是（）A.3B.31C.3D.317、直线l的斜率为21mk（Rm），则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.]4,0[B.),43[]4,0[C.),2(]4,0[D.),0[8、已知两点)2,3(),2,1(NM，若直线PNPM和的斜率分别为2,2，求P的坐标。类型一：倾斜角与斜率的关系41．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是()A．B．C．D．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.【变式1】如图，直线的斜率分别为，则()A．B．C．D．类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．5【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．两条直线的位置关系6●考试目标主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan12121kkkk，tan12121kkkk.4.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=2200BACByAx.5.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d=2221BACC6.对称问题.(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y).(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是22002222002222)(,22)(BABCABxyBABAACAByxAB.●题型示例点津归纳【例1】已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.7【例2】求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程..【例3】一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求光线(2)求这条光线从P到Q的长度.【例4】已知三条直线l1：2x-y+a=0(a0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是5107.(1)求a(2)求l3到l1的角θ(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的21；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是2∶5；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.8●对应训练分阶提升一、基础夯实1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=()A.-3B.–6C.-23D.232.点(0，5)到直线y=2x的距离是()A.25B.5C.23D.253.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4，那么m值为()A.-31或-3B.31或3C.31或3D.31或-34.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()A.(-32，+∞)B.(-∞，2)C.(-32，2)D.(-∞，-32)∪(2，+∞)5.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是()A.A1A2+B1B2=0B.A1A2=B1B2C.2121BBAA=-1D.2121BBAA=16.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为()A.a=，31b=6B.a=31，b=-6C.a=3，b=-2D.a=3，b=67.过两直线y=-31x+310和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有()A.0条B.2条C.1条D.3条8.对0|θ|4的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为()A.在单位圆上B.C在单位圆内，但不是圆心D.是单位圆的圆心9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是()A.(-1，0)B.(1，0)C.(522，0)D.(0，522)10.设直线l1：x·sinα+y·cos1+6=0，l2：x+y·cos1=0，α∈2,23，则直线l1与l2的位置关系是()A.平行B.垂直C.平行或重合D.二、思维激活11.直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于.12.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=c=m=.13.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是.14.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点.三、能力提高15.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.916.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.17.求函数y=84122xxx的最小值.18.已知点A(4，1)，B(0，4)，试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.(借助计算机作图,通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.10例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.例4已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状.分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有()①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题.变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为()A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3