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晶体学知识、倒易点阵2007.9.18胡小平点阵划分为晶格可以有不同的方法晶胞的选择方式（原则）1.在晶体学中常用与宏观晶体有同样对称的平行六面体作为晶胞；2.它们应具有棱与棱之间的最多直角数；3.还应具有最小的体积。4.当交角不为直角时，在遵循前三条的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行六面体的棱，且棱间交角接近于直角的平行六面体。只含一个阵点的晶胞----简单晶胞（单位晶胞，unitcell）含有一个以上的晶胞----复杂晶胞晶轴的选择原则晶轴的选择不是任意的，应遵守下列原则：91)应符合晶体所固有的对称性。因此，晶轴与对称轴或对称面的法线重合，若无对称轴和对称面，则晶轴可平行晶棱选取。92)在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或近于垂直，并使轴长趋于近于相等，即尽可能趋于α=β=γ=90°，a=b=c。晶系与布拉菲点阵•从以上原则来选取晶胞，只需7种晶胞就可包括所有的晶体，从而所有晶体都分成7种晶系：立方晶系(等轴晶系)正方晶系(四方晶系)六方晶系菱方晶系（三方晶系）斜方晶系单斜晶系三斜晶系晶系与布拉菲点阵•布拉菲点阵如果在空间点阵的单位阵胞中只有一个阵点，或者包含有两个或两个以上的阵点，而每个阵点的环境和阵胞中其它阵点的环境都完全相同，则这种点阵称为布拉菲点阵。¾它们是法国晶体学家布拉菲总结出来的，故亦称为布拉菲点阵。¾根据点阵参数的特点和结点的分布，所有晶体空间点阵的种类有14种。14种可能的Bravais点阵•根据结点在单胞中的分布，单位点阵有简单（原始）点阵（P）：结点均在角顶上底心点阵（C）：除角顶外每一对面上各有一个结点体心点阵（I）：除角顶外中央有一个结点面心点阵（F）：除角顶外每个面上均还有一个结点•结点(阵点）的空间位置表示：用它在三个晶轴上的截距并用a，b，c来度量。如000；111；1/21/21/2等。晶系与布拉菲点阵•单胞中结点的数目：•简单点阵的阵点坐标为:晶系与布拉菲点阵◆简单（原始）点阵P1000除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。◆底心点阵C每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为：000，1/21/20除8个顶点外，体心上还有一个阵点。每个阵胞含有两个阵点：◆体心点阵I000，1/21/21/2除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有阵点：◆面心点阵F其坐标分别为：4个000，1/21/20，1/201/2，01/21/2空间点阵和晶体结构的关系空间点阵+结构基元=晶体结构虽然空间点阵只有14种，但晶体结构的种类是无限的。小结：晶系与点阵常数的关系晶系边长夹角晶体实例立方晶系a=b=cα=β=γ=900NaCl三方晶系a=b=cα=β=γ≠900Al2O3四方晶系a=b≠cα=β=γ=900SnO2六方晶系a=b≠cα=β=900,γ=1200AgI正交晶系a≠b≠cα=β=γ=900HgCl2单斜晶系a≠b≠cα=β=900,γ≠900KClO3三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠900CuSO4·5H2O小结：晶系与点阵常数的关系二、晶面指数和晶向指数——这些相互平行的平面称为晶体的晶面二、晶面指数和晶向指数同一个格子，两组不同的晶面族1、晶面指数的确定方法(1)、晶体的定向•在晶体学中，将坐标系引入晶体图形中的手续称为晶体的定向。•通常根据矢量a,b,c选择晶体的坐标轴x,y,z，所选取的三个坐标轴称为晶轴，三个晶轴上的单位向量a,b,c称为轴单位。晶体的坐标(2)晶面指数的确定方法•在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距并以点阵的三个单位向量a,b,c来度量；•写出三个截距的倒数；•将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们化为三个简单整数，再用圆括号括起，即为该组晶面的晶面指数，记为(hkl)。•显然，h,k,l为互质整数(2)晶面指数的确定方法---举例•如果在坐标轴上的截距分别为1、2、3，其倒数为1、1/2、1/3，将三个倒数化为简单整数为：6、3、2，所以，该晶面的晶面指数为(632)。几点注意:A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的，并将负号标在数字的上面。B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与X、Y、Z轴的关系，它们之间不能随意变换。C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组面，而不是一个面。几点注意：D、对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族{hkl}。E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶面与对应的晶轴平行。如（100）(001）。)100(面等效的晶面数分别为：3个}100{表示为)110(面等效的晶面数分别为：6个表示为}110{)111(面等效的晶面数分别为：4个}111{表示为——符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义,在晶体内部这些面都是等效的。对于立方体(3)立方体的几个主要晶面及晶面指数2、晶向指数•晶向指数表示某一晶向（线）的方向，一个晶向的指数就是其方向余弦数。立方体系中的几个晶向指数3、晶向指数的确定方法•在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点的结点直线；•在该直线上选距原点最近的结点，量出它的结点坐标（用a,b,c度量）；•将三个坐标值化为简单整数u,v,w，用方括号括起，即为该晶向族结点直线的晶向指数。当泛指某晶向指数时，用[uvw]表示。例：立方晶系中的一些重要晶向[100]:轴向[110]:面对角线[111]:体对角线[112]:顶点到面心方向在立方晶系中，如果一个晶面指数与一个晶向指数数值相等，符号相同，则该晶面与晶向互相垂直[100]。4、平面间距d(hkl)•平面间距是指平面点阵族(hkl)中两个相邻的平行晶面间的垂直距离。通常用d(hkl)或简写为d来表示。•点阵中所有的晶面都有自己的面间距，一般的规律是:在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。晶面指数与晶面间距和晶面上结点密度的关系（二维）平面间距d(hkl)的计算•不同晶系的平面间距可用不同的公式计算：立方晶系正方晶系六方晶系可见，平面间距既与晶胞参数有关，又与晶面指数有关晶面夹角的计算•若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，可以求二者之间的夹角ψ(晶面法线的夹角)。立方晶系的公式：倒易点阵（ReciprocalLattice）倒易点阵的定义定义：将晶体学中的空间点阵（正点阵），通过某种联系，抽象出另一套结点的组合，称倒易点阵。在晶体点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Phkl表示，该点与晶面有倒易关系。如何确定倒易点阵的阵点倒易点阵的原点Ｏ＊与正点阵的原点Ｏ重合；点子取在（hkl）的法线上，且Phkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距dhkl成反比；如果在点阵S中任选一点阵点作为原点O，沿(hkl)的法线方向在距离原点为n/dhkl处，画出一系列的点，这些点形成等间距的直线点列，为一直线点阵。1、图中虚线代表平面点阵(hkl)的法线，在虚线上等间距排列的点为倒易点阵点nhnknl；2、相邻两倒易点阵点间的距离为1/dhkl；3、晶体中有无数组平面点阵，对每一平面点阵族都可按上图那样得到一个直线点阵；4、由于晶体的点阵性质，所有这些直线点阵中的点形成三维点阵，称为点阵S的倒易点阵S*。正倒易点阵的几何对应关系晶面与倒易结点（矢量）的关系定义倒易点阵（见书）•定义：倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面0=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅∗∗∗∗∗∗bcaccbabcaba1=⋅=⋅=⋅∗∗∗bbaacc倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系Vcba×=∗Vacb×=∗Vbac×=∗•(仅当正交晶系）ccbbaa111===∗∗∗，，倒易点阵的基本性质•根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点P的矢量称倒易矢量ghkl•g*hkl=•可以证明:•1.g*矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数•g*hkl=n/dhkl•2.其方向与晶面相垂直•g*//N(晶面法线)∗∗∗++lckbha倒易点阵的基本性质3正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为零，即：(1)正点阵晶胞（或原胞）体积V与倒易点阵晶胞（或原胞）体积V*成倒数关系。(2)正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易。倒易矢量、倒易点•在倒易点阵中建立坐标系，一般取倒易坐标原点与正点阵的坐标原点重合。•由倒易坐标原点向任意倒易阵点（倒易点）的连接矢量称为倒易矢量，记为G(hkl)。•G(hkl)的终点坐标为（h,k,l)•G(hkl)=ha*+kb*+lc*•G(hkl)的基本性质为：1.G(hkl)垂直于正点阵中的（hkl）晶面;2.其长度G(hkl)等于（hkl）晶面之晶面间距d(hkl)的倒数。倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的对应关系•G(hkl)的基本性质确切表达了其与(hkl)的一一对应关系，即一个G(hkl)与一组(hkl)对应；•G(hkl)的方向与大小表达了(hkl)在正点阵中的方位与晶面间距；反之，(hkl)决定了G(hkl)的方向与大小;•G(hkl)的基本性质也建立了作为H(hkl)终点的倒易(阵)点与(hkl)的一一对应关系：倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的对应关系(1)正点阵中每一组(hkl)对应着一个倒易点，该倒易点在倒易点阵中的坐标(可称阵点指数)即为hkl；(2)反之，一个阵点指数为hkl的倒易点对应正点阵中一组(hkl)，(hkl)方位与晶面间距由该倒易点相应的H(hkl)决定。总结：倒易点阵的性质•倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。•正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的倒数。•dhkl=1/r*•同样倒易点阵平面间距也等于正空间点阵矢量的倒数