全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)

全国高考数学解析几何大题精选50题（完美编辑、含答案、知识卡片）1．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．2．（2019•全国）已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足PA1与PA2的斜率之积等于﹣，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设过坐标原点的直线l与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2，求l的方程．3．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直试卷第1页，总25页线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．4．（2019•上海）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．试卷第2页，总25页5．（2019•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．6．（2019•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．7．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的试卷第3页，总25页两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．8．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．9．（2019•浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．试卷第4页，总25页10．（2019•新课标Ⅱ）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．11．（2019•北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；试卷第5页，总25页（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．12．（2019•北京）已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．13．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．试卷第6页，总25页14．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．15．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．试卷第7页，总25页16．（2019•上海）已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求d（P）；（2）证明：存在常数a，使得2d（P）＝|PF|+a；（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|＝|P2P3|，判断d（P1）+d（P3）与2d（P2）的关系．17．（2018•全国）双曲线﹣＝1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足＝2，求M的轨迹方程．试卷第8页，总25页18．（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+＝1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．19．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1试卷第9页，总25页（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．21．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．试卷第10页，总25页22．（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．23．（2018•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．试卷第11页，总25页24．（2018•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若＝sin∠AOQ（O为原点），求k的值．25．（2018•北京）已知椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．26．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．试卷第12页，总25页（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．27．（2018•北京）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：+为定值．28．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．试卷第13页，总25页29．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．30．（2018•上海）已知a∈R，双曲线（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标（2）若a＝1，直线y＝kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值31．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米试卷第14页，总25页（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）32．（2017•全国）设椭圆的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为（1）求a，b；（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．33．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：＝1，A为Γ的上顶试卷第15页，总25页点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|＝，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|＝|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．34．（2017•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线