初中数学—平行四边形—史上最全

初中数学—平行四边形一、【知识点汇总】1．平行四边形的判定和性质：性质判定①平行四边形对边平行；②平行四边形对边相等；③平行四边形对角相等；④平行四边形邻角互补；⑤平行四边形对角线互相平分．①行四边形的面积边上的高）是（ahhaSaa②行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形．注意：1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，2.拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，3.平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。2．矩形的判定和性质判定性质①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②有三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．①矩形具备平行四边形的性质．②矩形四个角都是直角．③矩形两条对角线相等．④矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．⑤矩形面积S＝ab(a、b分别表示矩形的长和宽)．3．菱形的判定和性质判定性质①一组邻边相等的平行四边形是菱形．②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．①菱形具备平行四边形的性质．②菱形四边都相等．③菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．⑤菱形面积212121llllhaSa、（分别表示菱形两对角线的长）．4．正方形的判定和性质判定性质①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形．②一组邻边相等的矩形是正方形．②方形具备平行四边形性质．②正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条①个角是直角的菱形是正方形．②角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴．③面积S＝a2（a表示正方形的边长）．5．梯形的判定和性质类别判定性质梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形①梯形一组对边平行而另一组对边不平行．②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．③bamhhbaS、（）＋（梯形面积21是梯形的上下底，h是高，m是中位线）．等腰梯形①两腰相等的梯形是等腰梯形．②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形．③对角线相等的梯形是等腰梯形．①等腰梯形具有一般梯形的性质．②等腰梯形两腰相等．③等腰梯形同一底上两角相等．④腰梯形对角线相等．⑤腰梯形是轴对称图形．直角梯形有一个角是直角的梯形是直角梯形．②角梯形具有一般梯形的性质．②直角梯形的一腰垂直于底边．6．梯形中的常用辅助线：7.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．8．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．ACDBEO第2题图第3题图ABCDO初二考法平行四边形【题型一】边长，面积，周长1、如图，E、F分别是ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD152cm，S△BQC2cm，则阴影部分的面积为。答案：402、如图，平行四边形ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是cm．答案83．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为.答案：2πcm【题型二】证明三角形全等，证明平行四边形，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1．如图，点E、F、G分别是□ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：ΔBEF≌ΔDGH．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D又∵E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点∴HD=BF，BE=CG∴△BEF≌△D2．已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点。求证：四边形AFBE是平行四边形。ACBDOECDPABCDEFQ第1题图GHEFDCBA答案：∵AC∥BD∴∠C=∠D∠CAO=∠DBOAO=BO∴△AOC≌△BOD∴CO=DO∵E、F分别是OC、OD的中点∴OF=12OD=12OC=OE。由AO=BO、EO=FO∴四边表AFBE是平等四边形。矩形【题型一】边长，面积，周长1、如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．【答案】282、在矩形ABCD，6AB,8BC，将矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，在展开，求折痕EF的长解：6AB,8BC由勾股定理可得10AC根据题意有AFCF，设AFCFx，8BFx由勾股定理222ABBFAF，即2226(8)xx解得254x254FC2575642AFCESCFAB，12AFCESACEF152EF（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）3、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是________．答案:中位线定理,12【题型二】证明三角形全等，证明矩形，证明线段的大小关系，ABCD第5题图FEDCBAO证明线段间的位置关系1．如图，点E、F、G分别是□ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：ΔBEF≌ΔDGH．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D又∵E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点∴HD=BF，BE=CG∴△BEF≌△D14、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为__________对图（3）的探究结论为____________；答案：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（图22分，图31分）证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形所以MD=NC，同理AM=BN，所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即PA2+PC2=PB2+PD23.如图，平行四边形ABCD中，AF平分DAB交CD于N，交BC的延长线于F，DEAF，交AB于M，交CB延长线于E，垂足为O，试证明：BECF证明：四边形ABCD为平行四边形ADBC∥，ABCD∥，ABCDGHEFDCBAONMFEABCDDAFF，ADEE，EDCAMDDEAF，90AOMAODAF平分DAB，DAFBAFOAOAAOMAOD（ASA）ADMAMD，BAFF，EDCEABBF，CDCEBFCEBECF10．如图，点M，N分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，且BMDN，MEBD，NFBD，垂足分别为E，F，求证：MN与EF互相平分证明：连接EN，MF四边形ABCD是平行四边形BCAD∥，CBDADB90MEFNFE，90MEBNFDMENF∥BMDNBMEDNF()AASMENF四边形EMFN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）MN与EF互相平分菱形题型一【边长，边长上的高，面积，周长，坐标】1、如图，两条笔直的公路1l、2l相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路1l的距离为4公里，则村庄C到公路2l的距离是A．3公里B．4公里C．5公里D．6公里【答案】B2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．MNABCDEFMNABCDEF2l1l【答案】：5123．菱形ABCD中，120DAB，如果它的一条对角线长为12cm，求菱形ABCD的边长解：若对角线12ACcm，如图四边形ABCD为菱形，且120DAB60DACBAC则ADC为等边三角形菱形ABCD的边长为12cm若对角线12BDcm，如图四边形ABCD为菱形，且120DAB60DACBAC则ADC为等边三角形又ODOB6ODOBcm设OAx，2ADx，由勾股定理可得222(2)6xx，解得23x，43ADcm综上所述：菱形ABCD的边长为12cm或43cm【题型二】证明三角形全等，证明菱形，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD⊥EF．【对角线互相平分】ODCBAABCD（第22题）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF．2、如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．（对角线平分对角）【答案】∵四边形ABCD为菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）3.如图，ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作,DEABDE与ACAE、分别交于点O、点E，连接EC求证：ADEC;当RtBAC时，求证：四边形ADCE是菱形；【重点；三种判定】在（2）的条件下，若ABAO，求tanOAD的值.【答案】.证明：(1)解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2：//,//,DEABAEBCABDEBEDC四边形是平行四边形，ABDE又ADBC是边上的中线BDCD()ABDEDCSASADED(2)解法1：ODAEBCABCDEF图4证明Rt,BACAD是斜边BC上的中线ADBDCD又四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是菱形解法2证明：//,RtDEABBACDEAC又四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是菱形解法3证明：RtBACADBC，是斜边上的中线ADBDCD四边形ABDE是平行四边形AEBDCD又ADECADCDCEAE四边形ADCE是菱形正方形题型一【边长，面积，周长】5、如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C6、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.