2020年5月海淀高三一模数学

海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数i(2i)对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）已知集合{|03}Axx，AB{1}，则集合B可以是（3）已知双曲线2221(0)yxbb的离心率为5，则b的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A）baca（B）2cab（C）ccba（D）||||bcac（5）在61(2)xx的展开式中，常数项为（A）120（B）120（C）160（D）160（A）{12}，（B）{13}，（C）{012}，，（D）{123}，，俯视图左视图主视图1122（6）如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M时，圆M与直线l相切于点B，点A运动到点A，线段AB的长度为3π2，则点M到直线BA的距离为（A）1（B）32（C）22（D）12（7）已知函数()||fxxm与函数()gx的图象关于y轴对称.若()gx在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为（A）[1,)（B）(,1]（C）[2,)（D）(,2]（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A）5（B）22（C）23（D）13（9）若数列na满足1=2a，则“p，rN，prpraaa”是“na为等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）形如221n（n是非负整数）的数称为费马数，记为nF.数学家费马根据0F,1F,2F,3F,4F都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F不是质数，那么5F的位数是（参考数据：lg20.3010）（A）9（B）10（C）11（D）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知点(1,2)P在抛物线2:2Cypx上，则抛物线C的准线方程为.（12）在等差数列{}na中，13a，2516aa，则数列{}na的前4项的和为.（13）已知非零向量a，b满足||=||aab，则1()2abb.（14）在△ABC中，43AB，4B，点D在边BC上，23ADC，2CD，则AD；△ACD的面积为.（15）如图，在等边三角形ABC中，6AB.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为()fx，给出下列三个结论：①函数()fx的最大值为12；②函数()fx的图象的对称轴方程为9x；③关于x的方程()3fxkx最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。OBCAP三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，AB平面11BBCC，122ABBBBC，13BC，点E为11AC的中点.（Ⅰ）求证：1CB平面ABC；（Ⅱ）求二面角ABCE的大小.（17）（本小题共14分）已知函数212()2cossinfxxx．（Ⅰ）求(0)f的值；（Ⅱ）从①11，22；②11，21这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()fx在[2,]6上的最小值，并直接写出函数()fx的一个周期.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。ECAB（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.182430324160769088989.7%11.6%13.5%13.2%14.2%15.1%14.6%14.9%14.7%13.9%0.0%2.0%4.0%6.0%8.0%10.0%12.0%14.0%16.0%0204060801001202010201120122013201420152016201720182019研发投入研发投入占营收（19）（本小题共15分）已知函数()exfxax．（Ⅰ）当1a时，①求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；②求函数()fx的最小值；（Ⅱ）求证：当(2a，0)时，曲线()yfx与1lnyx有且只有一个交点．（20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为32，1(,0)Aa，2(,0)Aa，(0,)Bb，△12ABA的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线1AB与直线2AM交于点P，直线1AM与直线2AB交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形.（21）（本小题共14分）已知数列na是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*kN，使得212nnnaaka对任意的*nN成立，则称数列na具有性质()k.（Ⅰ）分别判断下列数列na是否具有性质(2)；(直接写出结论)①1na；②2nna.（Ⅱ）若数列na满足1na≥(1,2,3,)nan，求证：“数列na具有性质(2)”是“数列na为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列na中11a，且1(1,2,3,)nnaan.若数列na具有性质(4)，求数列na的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数学2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABBDCCDCAB二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.题号1112131415答案1x24042，26①②注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）解：（Ⅰ）因为AB平面11BBCC，1CB平面11BBCC所以1ABCB.在△1BCC中，1BC,13BC,12CC,所以22211BCBCCC.所以1CBCB.因为ABBCB,,ABBC平面ABC，所以1CB平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1ABCB,1BCCB,ABBC,如图,以B为原点建立空间直角坐标系Bxyz.0则(0,0,0)B，1(,3,1)2E，(1,0,0)C.(1,0,0)BC，1(,3,1)2BE.设平面BCE的法向量为(,,)xyzn，则0,0.BCBEnn即0,130.2xxyz令3y则0x，3z,所以(0,3,3)n.又因为平面ABC的法向量为(0,1,0)m，所以1cos,||||2mnmnmn.由题知二面角ABCE为锐角，所以其大小为3.（17）解：（Ⅰ）2(0)2cos0sin02f.（Ⅱ）选择条件①.()fx的一个周期为π.2()2cossin2fxxx(cos21)sin2xx222(sin2cos2)122xx2sin2)14x（.因为[,]26x,所以372+[,]4412x.所以1sin2)14x（.所以12()12fx.当2=42x时，即3π=8x时，()fx在[,]26取得最小值12.选择条件②.()fx的一个周期为2π.2()2cossinfxxx22(1sin)sinxx21172(sin)48x.因为[,]26x,所以1sin[1,]2x.所以当sin=1x时，即π=2x时，()fx在[,]26取得最小值1.（18）解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以9()10PA.（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X的所有可能取值为0,1,2.且25210C2(0)=C9PX；1155210CC5(1)=C9PX；25210C2(2)=C9PX.所以X的分布列为：X012P295929故X的期望252()0121999EX．（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一.要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.（19）解：（Ⅰ）①当1a时，e()xxfx，则)1(exfx．所以'(0)0.f又(0)1f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y②令'()0fx，得0x.此时()fx，()fx随x的变化如下：可知min01()fxf，函数()fx的最小值为1.（Ⅱ）由题意可知，0,x（).令l(1)enxgaxxx，则1'e()xgaxx．由（Ⅰ）中可知e1xx，故e1xx．因为2,0a（)，则11'(1)exgaxaxxx12130xaax．所以函数()gx在区间(0,)上单调递增．因为11e21()e2e20eeag=+--,又因为e2(e)eee2e0ga=+-，所以()gx有唯一的一个零点.即函数()yfx与1lnyx有且只有一个交点.x(,0)-?0(0,)+?()fx-0+()fx↘极小值↗（20）解：（Ⅰ）由题222322.caababc，，解得21.ab，所以椭圆方程为2214xy.（II）解法1证明：设直线2AM方程为1(2)(0)2ykxkk且，直线1AB方程为112yx由(2),11.2ykxyx解得点424(,)2121kkPkk.由22(2)1.4ykxxy，得222(41)161640kxkxk，则221642=41Mkxk.所以2282=41Mkxk，24=41Mkyk.即222824(,)4141kkMkk.12224141824241AMkkkkkk.于是直线1AM的方程为1(2)4yxk，直线2AB的方程为112yx.由1(2)4112yxkyx解得点422(,)2121kQkk.于是PQxx，所以PQx轴.设PQ中点为N，则N点的纵坐标为42212112kkk.故PQ中点在定直线1y上.从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以BPBQ，所以△BPQ为等腰三角形.解法2证明：设0000(