信号处理-习题(答案)

第1页共33页数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础2.1有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器Ha(jΩ)还原，其中30321)(，，jHa现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs必须大于等于信号谱最高角频率Ωh的2倍，即满足Ωs≥2Ωh。解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得因为x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率32621h，所以y1(t)无失真；因为x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率32652h，所以y2(t)失真。2.2设模拟信号x(t)=3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt，求：（1）该信号的最小采样频率；（2）若采样频率fs=5000Hz，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。○1采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率fs不小于其最高频第2页共33页率fm的两倍，即fs≥2fm○2采样公式)()()(snTtnTxtxnxs解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz∴信号的最高频率fm=6000Hz由采样定理fs≥2fm，得信号的最小采样频率fs=2fm=12kHz（2）由于采样频率fs=5kHz，则采样后的输出信号nnnnnnnnnnnfnxnTxtxnxssnTts522sin5512cos13512cos10522sin5512cos35112cos105212sin5512cos3562cos10532sin5512cos3)()()(说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz和2kHz的频率成分，即kHzfffkHzfffss25000200052150001000512211，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号第3页共33页tttftfty4000sin52000cos132sin52cos13)(21可见，恢复后的模拟信号y(t)不同于原模拟信号x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。第三章傅里叶分析I.傅里叶变换概述3.1[习题3.2]设序列x(n)=δ(n-m)，求其频谱X(ejω)，并讨论其幅频和相频响应分析：求解序列的频谱有两种方法：○1先求序列的z变换X(z)，再求频谱jezjzXeX)()(，即X(ejω)为单位圆上的z变换；○2直接求序列的傅里叶变换nnjjenxeX)()(解：对序列x(n)先进行z变换，再求频谱，得mzmnZTnxZTzX)]([)]([)(则jmezjezXeXj)()(若系统的单位采样响应h(n)=x(n)，则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(jeHeeeXeHjjmjmjj故其幅频和相频响应（如图）分别为幅频响应1)(jeH相频响应m)(第4页共33页由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。3.2设x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，试利用X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：（1）)1()1()(1nxnxnx（2）)]()([21)(2nxnxnx分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即)()(jeXnx，)()(jeXnx)()(jmjeXenmx解：（1）由于)()]([jeXnxDTFT，)()]([jeXnxDTFT，则)()]1([jjeXenxDTFT)()]1([jjeXenxDTFT故cos)(2])[()]([1jjjjeXeeeXnxDTFT（2）由于)()]([jeXnxDTFT故)](Re[2)()()]([2jjjeXeXeXnxDTFT3.3设X(ejω)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换，不必求出X(ejω)，试完成下列计算：（1）)(0jeXωφ(ω)ωH(ejω)1第5页共33页（2）deXj)(（3）deXj2)(分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。（1）序列的傅里叶变换公式为：正变换nnjjenxeX)()(反变换deeXnxnjj)(21)(（2）帕塞瓦定理deXnxjn22)(21)(解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则6)()()(00nnnjjnxenxeX（2）由于ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故422)(2)()(00njjjnxdeeXdeX（3）由帕塞瓦定理，得28)(2)(22njnxdeXII.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.4如图所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。第6页共33页分析：利用DFS的定义求解，即10)(~)](~[)(~NnknNWnxnxDFSkX，其中k=0~(N-1)解：已知N=6，则由DFS的定义得kjkjkjkjkjnnkjnkneeeeeenxWnxkX5624623622626250625061068101214)(~)(~)(~对上式依次取k=0~5，计算求得339)5(~33)4(~0)3(~33)2(~339)1(~60)0(~jXjXXjXjXX，，，，3.5设nnnnx其他，，0401)(，)2()(4nRnh令6))(()(~nxnx，6))(()(~nhnh，试求)(~nx与)(~nh的周期卷积。分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于)(~)(~nxny○*10)(~)(~)(~Nmmnhmxnh只要将列表中对应于某个n的一行中的)(~mnh值和第一行中与之对应的)(~mx值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的)(~ny值解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第7页共33页列循环移位的概念。．．．．．．．．．在一个周期（N=6）内的计算卷积值)(~)(~nxny○*10)(~)(~)(~Nmmnhmxnh则)(~nx与)(~nh的周期卷积)(~ny值（n=0~5）如下表所示：III.离散傅里叶变换（DFT）3.6已知x(n)如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列x((-n))5，x((-n))6R6(n)，x((n))3R3(n)，x((n))6，x((n-3))5R5(n)和x((n))7R7(n)的略图。分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是x((n))N中N的数值。如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。解：各序列的略图如图所示。第8页共33页3.7试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1）)()(nRanxNn（2）Nnnnnx000)()(，（3）)()(nnRnxN（4）)()(2nRnnxN分析：利用有限长序列的DFT的定义，即10)()(10NkWnxkXNnknN，解：（1）因为)()(nRanxNn，所以kNjNNnnkNjnNnknNnaeaeaWakX21021011)(（2）因为Nnnnnx000)()(，，所以第9页共33页knNjnnknNNnknNeWWnnkX002100)()(（3）由)()(nnRnxN，得10)(NnknNnWkX注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n．。．10)1()(NnnkNkNnWkXWNWWNWNWNWN11)1()1(])1()2(2[])1(32[)1)((11)1(32)1(3210)1(10则所以kNWNkX1)(（4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。．．．．．．．．．．．．．．．．由)()(2nRnnxN，则102)(NnknNWnkX根据第（3）小题的结论：若)()(1nnRnxN则第10页共33页kNNnknNWNnWkX1)(101与上题同理，得kNNnknNNnknNkNNNkNkNkNNkNkNkNkNNnnkNNnknNkNWNNNkXNNnWNNWnNWNWN12)2()(2)2(2)2()12()1(])1()2(4[])1(94[)1)((1111122)1(232)1(23210)1(2102所以10)1()2()(22NkWNWNNkXkNkN，3.8试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即：有限长序列x(n)左移m（m为正整数）位的循环移位定义为)())(()(nRmnxnxNNm且移位时，在主值区间（n=0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。解：由循环卷积的定义，可知第11页共33页)()(1nxny○6612))(([)(nxnx○*)(]))((662nRnx61))(([nx○*)(]))3((366nRn)())3((3661nRnx则根据循环移位的概念，将序列x1(n)循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（n=0~5）即可，其结果如图所示。3.9如图所示的5点序列x(n)，试画出：（1）x(n)*x(n)（2）x(n)○5x(n)（3）x(n)○10x(n)分析：本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度N+M-1，即L≥N+M-1否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。解：由于x(n)是5点序列，所以x(n)*x(n)是5+5-1=9点序列，因第12页共33页此，x(n)○10x(n)的前9个点（n=0，1，…，8）就是x(n)*x(n)值，后一个点（n=9）为零，因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（L可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（a）、（b）、（c）所示。3.10已知两个有限长序列为651