用面积法解几何问题

用面积法解几何问题（一）证明面积问题常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。4.还可以利用面积解决其它问题。【典型例题】（一）怎样证明面积问题1.分解法例1.从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可由S△CFE＝S△CFB故可得出S△AEF＝S△ABC证明：∵AD//BE//CF∴△ADB和△ADE同底等高∴S△ADB＝S△ADE同理可证：S△ADC＝S△ADF∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF又∵S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2.作平行线法例2.已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h证明：过M作MN//AB∵M为腰BC的中点∴MN是梯形的中位线设梯形的高为h（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1.证线段之积相等例3.设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB分析：从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。证明：∵AD、BE、CF是△ABC的三条高2.证等积问题例4.过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：S△ABF＝S△ADE分析：因为AB//DF，所以△ABF与△ABC是同底AB和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。证明：连结AC∵CF//AB又∵CE//AD3.证线段之和例5.已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求证：PE+PF＝BH分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP，则故PE+PF＝BH证明：连结AP，则∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC又∵BH⊥AC∴PE+PF＝BH4.证角平分线例6.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AE＝CF，连AE、CF交于P，求证：BP平分∠APC。分析：要证BP平分∠APC，我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是△ABE和△BFC的高相等即可，又由已知AE＝FC可联想到三角形的面积，因此只要证出S△ABE＝S△BCF即可由平行四边形ABCD可得S△ABE＝S△ABC，S△BFC＝S△ABC所以S△ABE＝S△BFC，因此问题便得解。证明：连结AC、BE、BF∵四边形ABCD是平行四边形∴S△ABE＝S△ABCS△BFC＝S△ABC∴S△ABE＝S△BFC又∵AE＝CF而△ABE和△BFC的底分别是AE、CF∴△ABE和△BFC的高也相等即B到PA、PC的距离相等∴B点在∠APC的平分线上∴PB平分∠APC【模拟试题】（答题时间：25分钟）1.在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：S△ABE＝S△ADF2.在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，求证：3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：4.已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证：5.在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比。【试题答案】1.证明：连结AC，则又∵E、F分别为BC、CD的中点2.证明：过M作MN//DC//AB∵M为腰BC上的中点∴△DCM和△ABM的高相等，设为h1又∵△DMN与△AMN的高也为h1∵MN为梯形的中位线∴3.证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB∴两边同时除以得：4.证明：连结FD、FG、FC则由已知可得①作DM//AB，设它们之间的距离为h，G到DM的距离为a，则由已知可得H、C到DM的距离分别为2a、3a即②①+②得：5.证明：作DF//AC交BE于F可得△DFG≌△CEG而∴△ABC和四边形ADGE的面积比是12：5【励志故事】用皮鞋演奏的帕格尼尼意大利名小提琴家帕格尼尼，最擅长演奏旋律复杂多变的乐曲，他高深的琴技很受喜欢古典音乐者的激赏。有天晚上，帕格尼尼举行音乐演奏会，有位听众听了他出神入化的演奏之后，以为他的小提琴是具魔琴，便要求一看。帕格尼尼立即答应了。那人看看小提琴，跟一般的琴没什么两样，心里觉得很奇怪。帕格尼尼看出他的心事，便笑着：「你觉得奇怪是不？老实告诉你，随便什么东西，只要上面有弦，我都能拉出美妙的声音。」那人便问：「皮鞋也可以吗？」帕格尼尼回答：「当然可以。」于是那人立刻脱下皮鞋，递给帕格尼尼。帕格尼尼接过皮鞋，在上面钉了几根钉子，又装上几根弦，准备就绪，便拉了起来。说也奇怪，皮鞋在他手上，演奏起来竟跟小提琴差不多，不知情的人，在听了这个美妙的旋律之后，还以为是用小提琴拉的呢！