新课标高中数学知识点大全

1高中数学常用公式及结论大全(新课标)必修11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{Nxxx且2、常用数集及其表示方法（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……（2）正整数集N*或N+：1、2、3、……（3）整数集Z：-2、-1、0、1、……（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R：全体实数的集合（6）空集Ф：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于∈，不属于例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作BA或AB.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，记作QP（2）真子集的概念若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2).AB或BA.（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.BAABBA,5、重要结论（1）传递性：若BA，CB，则CA（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个(即不计空集)；非空的真子集有2n–2个.7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．BAA,B(图1)或BA(图2)AB2（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作ACU,A,U|ACUxxx且注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。8、映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如3122xxy00xx10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）①分式的分母不为零；01,11:xxy则如②偶次方根的被开方数大于或等于零；05,5:xxy则如③对数的底数大于０且不等于１；10),2(log:aaxya且则如④对数的真数大于０；02),2(log:xxya则如⑤指数为０的底不能为零；xmy)1(:如,则01m11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足)()(xfxf，奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足)()(xfxf，偶函数的图象关于y轴对称；注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则0)0(f③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数)(xf在某区间上是增函数或减函数，那么说)(xf在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间13、一元二次方程20axbxc(0)a（1）求根公式:aacbbx2422,1（2）判别式：acb42（3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。（4）根与系数的关系——韦达定理:abxx21，acxx2114、二次函数：一般式cbxaxy2(0)a；两根式))((21xxxxay(0)aABACUA3（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）对称轴方程为：x=ab2；（3）当0a时，图象是开口向上的抛物线，在x=ab2处取得最小值abac442当0a时，图象是开口向下的抛物线，在x=ab2处取得最大值abac442（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。15、函数的零点使0)(xf的实数0x叫做函数的零点。例如10x是函数1)(2xxf的一个零点。注：函数xfy有零点函数xfy的图象与x轴有交点方程0xf有实根16、函数零点的判定：如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf。那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在0,,cfbac使得。17、分数指数幂（0,,amnN，且1n）（1）nmnmaa.如233xx；(2)nmnmnmaaa11.如2331xx；（3）()nnaa；（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.18、有理指数幂的运算性质（Qsra,,0）（1）srsraaa；（2）rssraa)(；（3）rrrbaab)(19、指数函数xay（0a且1a），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R1a10a图象性质（1）定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数xy0xy01xy01420、若Nab，则叫做以为底N的对数。记作：bNalog（1,0aa，0N）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN21、对数的性质（1）零和负数没有对数，即Nalog中0N；（2）1的对数等于0，即01loga；底数的对数等于1，即1logaa22、常用对数Nlg：以10为底的对数叫做常用对数，记为：NNlglog10自然对数Nln：以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：NNelnlog23、对数恒等式：NaNalog24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR（注意公式的逆用）25、对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论①或1loglogabba；②loglogmnaanbbm.26、对数函数xyalog（0a，且1a）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是),0(1a10a图像性质定义域：(0,∞)值域：R过定点（1，0）增函数减函数取值范围0x1时，y0x1时，y00x1时，y0x1时，y027、指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数；它们图象关于直线xy对称.1y01x0x528、幂函数xy（R），其中x是自变量。要求掌握3,2,1,21,1这五种情况(如下图)29、幂函数xy的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）当0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间),0[上是增函数．（Ⅲ）当0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．必修230、边长为a的等边三角形面积243aS正31、柱体体积：h底柱＝SV，锥体体积：h锥底＝S31V球表面积公式：24RS球，球体积公式：334RV（上述四个公式不要求记忆）32、四个公理：①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。②过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。④平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。33、等角定理：空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)34、两条直线的位置关系：异面直线　　相交平行共面直线直线与平面的位置关系：（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交35、直线与平面平行：定义一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。36、平面与平面平行：12321-1-2-3-22321-1-22321-1-2-22xy1xy2xyxy3xy111111：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）：（在同一平面内，没有公共点）：（在同一平面内，有一个公共点）6定义两个平面没有公共点，则这两平面平行。判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。37、直线与平面垂直：定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。性质①垂直于同一平面的两条直线平行。②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。38、平面与平面垂直：定义两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。39、三角形的五“心”（1）O为ABC的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等（2）O为ABC的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段（3）O为ABC的垂心（各边高的交点）.（4）O为ABC的内心（各内角平分线的交点）.内心到三边的距离相等（5）O为ABC的A的旁心（各外角平分线的交点）.40、直线的斜率：(1)过2211,,,yxByxA两点的直线，斜率1212xxyyk，（21xx）（2）已知倾斜角为的直线，斜率tank（)900（3）曲线)(xfy在点（),00yx处的切线，其斜率)(0xfk41、直线位置关系：已知两直线222111:,:bxkylbxkyl，则1//2121212121kkllbbkkll　　　　且特殊情况：（1）当21,kk都不存在时，21//ll；（2）当1k不存在而02k时，21ll42、直线的五种方程：①点斜式11()yykxx(直线l过点),(11yx，斜率为k)．②斜截式ykxb(直线l在y轴上的截距为b，斜率为k).③两点式112121yyxxyyxx(直线过两点),(11yx与),(22yx).④截距式1byax（ba,分别是直线在x轴和y轴上的截距，均不为0）7⑤一般式0AxByC(其中A、B不同时为0)；可化为斜截式：BCxBAy43、（1）平面上两点),(),,(2211yxByxA间的距离公式：|AB|=221221)()(yyxx（2）空间两点),,(),,,(222111zyxB