04-二次函数的图象和性质

主讲：蓝豆二次函数的图象和性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数的定义中小学数学精品视频课程xuetong.com形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎≠0）的函数叫做二次函数.其中𝑥是自变量，𝑎、𝑏、𝑐分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项.【知识点】二次函数的定义提示：（1）函数的关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于0.中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】下列所给函数中，为二次函数的有（）①𝑦=3𝑥+2；②𝑦=−𝑥2+2𝑥；③𝑦=2𝑥−𝑥2；④𝑦=3−12𝑥2A.②B.②③④C.②③D.②④【答案】D二次函数的定义中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】若𝑦=(𝑚2+𝑚)𝑥𝑚2−𝑚是二次函数，求𝑚的值.【答案】2二次函数的定义中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象与性质一次函数：𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑘≠0直线反比例函数：𝑦=𝑘𝑥𝑘≠0双曲线二次函数：抛物线中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥2（𝑎≠0）的图象与性质二次函数图象的作法：①列表；②描点；③连线【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象与性质𝑦=𝑥2Oxy𝑦=−𝑥2𝑥𝑦=𝑥2𝑦=−𝑥2Oxy二次函数𝑦=𝑎𝑥2（𝑎≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是𝑦轴，顶点是原点（0，0）中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥2（𝑎≠0）的图象与性质二次函数𝑦=𝑥2和𝑦=−𝑥2的图象和性质：【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象与性质二次函数表达式图象开口方向对称轴顶点坐标增减性𝑦=𝑥2向上𝑦轴0,0当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而增大；𝑦=𝑥2与𝑦=−𝑥2图象开口方向相反，形状相同，顶点相同，两图象关于𝑥轴对称𝑦=−𝑥2向下𝑦轴0,0当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而减小；中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=12𝑥2和𝑦=−2𝑥2的图象，并根据图像回答下列问题：（1）说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。（2）抛物线𝑦=12𝑥2，当𝑥时，抛物线上的点都在𝑥轴上方；当𝑥0时，曲线自左向右逐渐；它的顶点是图像的点。（3）函数𝑦=−2𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数值𝑦0；当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而；当𝑥时，𝑦有最值，是。二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=12𝑥2和𝑦=−2𝑥2的图象，并根据图象回答下列问题：解：先列表：二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象与性质𝑥…−2−1.5−1011.52…𝑦=12𝑥2…21.1250.500.51.1252…𝑦=−2𝑥2…−8−4.5−20−2−4.5−8…（1）说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（2）抛物线𝑦=12𝑥2，当𝑥时，抛物线上的点都在𝑥轴上方；当𝑥0时，曲线自左向右逐渐；它的顶点是图象的点（3）函数𝑦=−2𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数值𝑦0；当𝑥0时，𝑦随𝑥的增大而；当𝑥时，𝑦有最值，是.≠0上升最低≤增大=0大0中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑘（𝑎、𝑘是常数，𝑎≠0）的图象与性质二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑘（𝑎≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是𝑦轴，顶点坐标是（0，𝑘），是由抛物线𝑦=𝑎𝑥²向上（或下）平移|𝑘|个单位得到的.【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑘与𝑦=𝑎𝑥²的图象之间的关系如下表所示：【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的图象与性质𝑦=𝑎𝑥2𝑎≠0向上平移|𝑘|个单位向下平移|𝑘|个单位𝑦=𝑎𝑥2𝑎0𝑦=𝑎𝑥2𝑎0𝑦=𝑎𝑥2+𝑘𝑎0,𝑘0𝑦=𝑎𝑥2+𝑘𝑎0,𝑘0𝑦=𝑎𝑥2+𝑘𝑎0,𝑘0𝑦=𝑎𝑥2+𝑘𝑎0,𝑘0中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=−𝑥²和𝑦=−𝑥²+1的图象，并根据图像回答下列问题：(1)抛物线𝑦=−𝑥²+1经过怎样的平移才能得到抛物线𝑦=−𝑥²？(2)函数𝑦=−𝑥²+1，当𝑥时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥时，函数𝑦有最大值，最大值是；其图像与𝑦轴的交点坐标是，与𝑥轴的交点坐标是。(3)试说出抛物线𝑦=12𝑥²−3的开口方向、对称轴和顶点坐标。二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=−𝑥²和𝑦=−𝑥²+1的图象，并根据图像回答下列问题：解：先列表：二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的图象与性质𝑥…−3−2−10123…𝑦=−𝑥2…−9−4−10−1−4−9…𝑦=−𝑥2+1…−8−3010−3−8…(1)抛物线𝑦=−𝑥²+1经过怎样的平移才能得到抛物线𝑦=−𝑥²？(2)函数𝑦=−𝑥²+1，当𝑥时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥时，函数𝑦有最大值，最大值是；其图象与𝑦轴的交点坐标是，与𝑥轴的交点坐标是.(3)试说出抛物线𝑦=12𝑥²−3的开口方向、对称轴和顶点坐标。向下平移1个单位0=010,1−1,0,1,0向上，𝑦轴，0,−3中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2（𝑎、ℎ是常数，𝑎≠0）的图象与性质𝑦=𝑎𝑥−ℎ2是由抛物线𝑦=𝑎𝑥²向右（向左）平移|ℎ|个单位得到的.二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2（𝑎≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于𝑦轴或与𝑦轴重合的直线𝑥=ℎ，顶点坐标是（ℎ，0）【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²与𝑦=𝑎𝑥²的图象之间的关系如下表所示：【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2的图象与性质𝑦=𝑎𝑥2𝑎≠0向左平移|ℎ|个单位向右平移|ℎ|个单位𝑦=𝑎𝑥2𝑎0𝑦=𝑎𝑥2𝑎0𝑦=𝑎𝑥−ℎ2𝑎0,ℎ0𝑦=𝑎𝑥−ℎ2𝑎0,ℎ0𝑦=𝑎𝑥−ℎ2𝑎0,ℎ0𝑦=𝑎𝑥−ℎ2𝑎0,ℎ0中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=−12𝑥2和𝑦=−12𝑥−12的图象，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线𝑦=−12𝑥−12可以看成将抛物线𝑦=−12𝑥2做怎样的平移得到的？（2）函数𝑦=−12𝑥−12的图象的对称轴是；当𝑥时，曲线自左向右上升；除顶点外。抛物线上的点都在.（3）函数𝑦=−12𝑥−12，当𝑥时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥时，𝑦有最大值，最大值是.二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在同一直角坐标系中，画出函数𝑦=−12𝑥2和𝑦=−12𝑥−12的图象，并根据图象回答下列问题：解：先列表：二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2的图象与性质𝑥…−2−10123…𝑦=−12𝑥2…−2−0.50−0.5−2…𝑦=−12𝑥−12…−2−0.50−0.5−2…（1）抛物线𝑦=−12𝑥−12可以看成将抛物线𝑦=−12𝑥2做怎样的平移得到的？（2）函数𝑦=−12𝑥−12的图象的对称轴是；当𝑥时，曲线自左向右上升；除顶点外，抛物线上的点都在.（3）函数𝑦=−12𝑥−12，当𝑥时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥时，𝑦有最大值，最大值是.向右平移1个单位𝑥=11𝑥轴下方1=10中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2+𝑘的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘（𝑎、ℎ、𝑘是常数，𝑎≠0）的图象与性质𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘是由抛物线𝑦=𝑎𝑥²（𝑎≠0）向右（左）平移|ℎ|个单位，再向上（下）平移|𝑘|个单位得到的.二次函数𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘（𝑎≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线𝑥=ℎ，顶点坐标是（ℎ，𝑘），【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2+𝑘的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com具体平移操作如图所示【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2+𝑘的图象与性质记忆口诀：上加下减，左加右减中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知二次函数𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘是由抛物线𝑦=−12𝑥²向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线。（1）求出𝑎、ℎ、𝑘的值。（2）在同一直角坐标系中，画出𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘与𝑦=−12𝑥²的图象。二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2+𝑘的图象与性质𝑎=−12,ℎ=1,𝑘=2中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知二次函数𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘是由抛物线𝑦=−12𝑥²向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线。（3）观察𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘的图象，当𝑥时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥时，函数𝑦有最值，最值是𝑦.（4）观察𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘的图象，你能说出对于一切𝑥的值，函数𝑦的取值范围吗？二次函数𝑦=𝑎𝑥−ℎ2+𝑘的图象与性质1=1=2大大𝑦≤2中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）的图象与性质（难点）我们可以用配方法求抛物线𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）的顶点坐标与对称轴𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=𝑎（𝑥+𝑏2𝑎）²+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎，二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线𝑥=−𝑏2𝑎，顶点坐标是（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎）【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com一般式𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）与顶点式𝑦=𝑎（𝑥−ℎ）²+𝑘（𝑎≠0）对照：【知识点】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】函数𝑦=12𝑥²−6𝑥+21，具有哪些性质，它是由抛物线𝑦=12𝑥²怎样平移得到的？二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与性质中小学数学精品视频课程xuetong.com【小结】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与性质二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）的图象与性质（难点）1.开口方向2.对称轴3.顶点坐标4.最值5.增减性中小学数学精品视频课程xuetong.com用待定系数法求二次函数解析式中小学数学精品视频课程xuetong.com二次函数的解析式一般式：𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+