25非简并定态微扰理论

第五章微扰理论§5-1非简并定态微扰理论§5-2简并情况下的微扰理论前面，利用薛定谔方程求解了一些简单的能量本征问题。例如：线性谐振子、方势阱、氢原子问题等。实际上，能用薛定谔方程严格求解的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。求近似解的方法很多，例如微扰理论、变分法等。每一种方法都有它的适用范围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式(0)ˆˆˆHHH其中（不显含）的解已知或可精确求解，它包括了体系的主要性质；对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在的解的基础上用修正的解，就得到了复杂体系的的近似解。(0)ˆHtˆH(0)ˆHˆH(0)ˆHˆH分为两种情况：（1）不显含，即定态问题，它又分为非简并和简并两种情况；ˆHtˆHt（2）显含，可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题及光的发射和吸收等问题。本章主要介绍定态微扰理论。§5-1非简并定态微扰理论一、一级近似解二、二级近似解三、结果讨论§5-1非简并定态微扰理论已知不显含时间，且Hˆ(0)ˆˆˆHHH(1)ˆˆHH（是很小的实参量）(0)(0)(0)(0)ˆnnnHE的本征方程(0)ˆH、已经解出，且不简并。(0)nE)0(n(0)nE设体系的定态薛定谔方程为ˆnnnHE由于和都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数的函数，将它们展为的幂级数，即nEn(0)(1)2(2)()nnnnEEEE(0)(1)2(2)()nnnn将展开式代入薛定谔方程中，得(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)ˆˆ()()()()nnnnnnnnnHHEEE得)()()ˆˆ()ˆˆ(ˆ)0()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEHHHHH逐级近似方程0(0)(0)(0)(0)ˆnnnHE1(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆˆnnnnnnHHEE2(0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆˆnnnnnnnnHHEEE……………………………假定已经归一化，则()n*()()1nnd(0)(1)2(2)*(0)(1)2(2)()()1nnnnnnd一、一级近似解考虑的第个能量本征值和相应本征函数的修正。(0)ˆHn(0)nE(0)n把用展开(1)n(0)nkkknc)0()1()1(代入到一级等式中，得(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆˆnnnnnnHHEE)0()1()0()1()0()0()1()0()1()0(ˆˆnnkkknnkkkEcEHcH)0()1()0()1()0()0()1()0()0()1(ˆnnkkknnkkkkEcEHEc做运算，得dxm)0*((1)(0)*(0)(0)*(0)(1)(0)(0)(1)*(0)(0)(1)*(0)(0)ˆkkmkmnknkmknmnkcEdxHdxEcdxEdx(1)(0)(1)(0)(1)(1)kkmkmnnkmknmnkkcEHEcE(1)(0)(1)(0)(1)(1)mmmnnmnmncEHEcE(1)(0)(1)(0)(1)(1)mmmnnmnmncEHEcE当时，上式变成nm(1)(1)nnnEH所以，能量一级修正值为(1)nnnEH当时，上式变成mn(1)(0)(1)(0)(1)mmmnnmcEHEc(1)(1)(0)(0)mnmnmHcEE因此(1)/(1)(0)nmmmc求和号上加一撇，表示不包含项。nm所以，波函数一级修正为(1)/(0)(0)(0)mnnmmnmHEE总结：一级近似解为(0)nnnnEEH(0)/(0)(0)(0)mnnnmmnmHEE(1)/(0)(0)(0)mnmmnmHEE二、二级近似解令kkknc)0()2()2(代入到二级等式中，得(0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆˆnnnnnnnnHHEEE)0()2()0()1(/)1()0()2()0()0()1(/)1()0()2()0(ˆˆnnkkknkkknkkkkkkEcEcEcHcH做运算，得dxm)0*(dxEdxcEdxcEdxHcdxEcnmnkmkknkkmknkmkkkkmkk)0()0*()2()0()0*()1(/)1()0()0*()2()0()0()1()0*()1(/)0()0*()0()2(ˆmnnmkkknkmkknkmkkkmkkkEcEcEHcEc)2()1(/)1()2()0()1()1(/)0()2(mnnmnnmnkmkkmmEcHcEHcEc)2()1()1()2()0()1()1(/)0()2(mnnmnnmnkmkkmmEcHcEHcEc)2()1()1()2()0()1()1(/)0()2(当时，，上式变成nm0)1(mc)2()2()0()1()1(/)0()2(nnnknkknnEcEHcEc(2)/(1)(1)nknkkEcH所以，能量二级修正值为mmnmnnEEHE)0()0(2/)2(2能量的二级近似值为2(0)/(0)(0)ˆmnnnnnmnmHEEHEE/(1)(1)mnmmcH(1)/(1)(0)(0)mnnmmnmHHEE2(1)/(0)(0)mnmnmHEE三、结果讨论1．微扰论的适用条件(0)(0)1mnnmHEE(0)(0)()nmEE（1）一方面要足够小（即），可把它看成扰动项；ˆH(0)(0)mnnmHEE（2）另一方面能级间距要足够大，所有要足够远离被修正的能级。(0)(0)nmEE(0)mE(0)nE例如：库仑场(0)21nEnn(0)(0)0nmEE故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。注意：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情况。2．在表象中的矩阵形式(0)HˆH(0)HHH可见，在表象中，的对角元素就是各能级的一级修正，矩阵的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。(0)HˆHH(0)11112(0)221220......0........................EHHEHH(0)11112(0)21222...............EHHHEH例1．一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。ex解：(0)22222ˆˆ1ˆ22HHdHxexdx0EDexxex其中的本征解(0)ˆH2222(0)11(0)22120,1,2,()()2!nxxnnnnnEnnNeHxeHxn（1）求能量(1)ˆnnnEH*(0)(0)ˆ()()nnxHxdx*(0)(0)()()nnexxxdx0*(0)(0)ˆˆ()()mnmnHxHxdx*(0)(0)()()mnexxxdx*(0)(0)(0)11122mnnenndx,1,1122mnmnenn22(2)/(0)(0)mnnmnmHEEE221,1,(0)(0)(0)(0)11nnnnnnnnHHEEEE2212enn2212e2222e所以，准确到二级近似的能量为(0)(1)2(2)nnnnEEEE222122en（2）求波函数(1)/(0)(0)(0)mnnmmnmHEE1/2(0)(0)1112nnnne1/2(0)(0)1131[1]2nnenn1,1,(0)(0)11(0)(0)(0)(0)11nnnnnnnnnnHHEEEE所以，波函数的一级近似为(0)(1)nnn(0)(0)(0)11312nnnenn讨论：实际上此题可准确求解能量本征值222221ˆ22dHxexdx222222221222nnndexEdx222222221222nnndexEdx能量本征方程所以222122neEn222122neEn212()()xnnnxNeHx2222222221222deexdx222222221222dexdx例2．设在表象中，的矩阵表示为0HHˆ0102**0300EcaHEdbabE其中，试用微扰论求能级二级修正。030201EEE解：00110022**00**3300000000000EcaEcaHEdbEdbabEEab2(0)/(0)(0)nmnnnnmnmHEEHEE22213101100001213HHEEcEEEE22123202200002123HHEEdEEEE221323033000031320HHEEEEEE2010013aEcEE2020013bEdEE220300003132abEEEEE