【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-平面的性质与直线的位置关系(含解析)

第1页共7页EABCDA1B1C1D1平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。【基础练习】1下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（3）。（1）∵BA,，∴AB．（2）∵aa,，∴a．（3）∵aaA,，∴A．（4）∵aaA,，∴A．2．下列推断中，错误的是（4）。（1）lBlBAlA,,,（2）CBACBA,,,,,，A,B,C不共线,重合（3）ABBBAA,,,（4）AlAl,3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”[来源:学科网ZXXK]（1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）[来源:学科网]（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（）⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×4．如右图，点E是正方体1111ABCDABCD的棱1DD的中点，则过点E与直线AB和11BC都相交的直线的条数是：1条[来源:Z,xx,k.Com]5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是③④。EAFBCMND第2页共7页6．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线证明：假设__共面于，则点A、E、B、D都在平面__内Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛盾∴BD、AE__________答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面内。∵Aa，Da，∴a.∵Pa，P.∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴b，c，这与a、b、c不共面矛盾∴BD、AE是异面直线【范例导析】例1．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFKOBOGkOCOHkOD，（1）求证：四点,,,EFGH共面；[来源:学。科。网Z。X。X。K]（2）平面AC//平面EG．分析：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。解：法一：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB，又∵EGkAC，∴//,//EFABEGAC所以，平面//AC平面EG．法二：（1）EFOFOE,,OEkOAOFKOB∴()EFkOBOAkAB∴//EFAB同理//HGDC又//ABDC∴//EFHG∴,,,EFGH共面；OABCDHFGE第3页共7页（2）由（1）知：//EFAB，从而可证//EFABCD面同理可证//FGABCD面，所以，平面//AC平面EG．点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。例2．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.分析：证明两条直线异面通常采用反证法。证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，所以A、B、C、D四点共面这与空间四边形ABCD的定义矛盾所以对角线AC与BD是异面直线(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=21AC.同理HG//AC,且HG=21AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例3．如图，已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC上的点，且1AECF，求证：四边形1EBFD是平行四边形简证：由1AECF可以证得ABE≌11CDF所以1BEDF又可以由正方体的性质证明1//BEDF所以四边形1EBFD是平行四边形变式题：如图，已知E、F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC的中点．（Ⅰ）试判断四边形1EBFD的形状；（Ⅱ）求证：平面1EBFD平面11BBD．解（Ⅰ）如图，取1BB的中点M，连结1AM、MF．∵M、F分别是1BB和1CC的中点，1DA1ABCD1B1CFEA1ABCD1B1CF1DE第4页共7页1DACDPBACDPB∴11//MFBC，在正方体1111ABCDABCD中，有1111//ADBC，∴11//MFAD，∴四边形11AMFD是平行四边形，∴11//AMDF．又E、M分别是1AA、1BB的中点，∴1//AEBM，∴四边形1AEBM为平行四边形，∴1//EBAM．故1//EBDF．∴四边形1EBFD是平行四边形．又RtEAB≌RtFCB，∴BEBF，故四边形1EBFD为菱形．[来源:Zxxk.Com]（Ⅱ）连结EF、1BD、11AC．∵四边形1EBFD为菱形，∴1EFBD．在正方体1111ABCDABCD中，有1111BDAC，111BDAA∴11BD平面11AACC．又EF平面11AACC，∴11EFBD．又1111BDBDD，∴EF平面11BBD．又EF平面1EBFD，故平面1EBFD平面11BBD例4：如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论．解：AB与CD是异面直线。可采用反证法进行证明。变式题1：如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．（Ⅱ）平面平面。证明如下：设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，第5页共7页所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即090CPD．在平面四边形PCHD中，090PCHPDHCPD，所以090CHD．故平面平面．备用题：（1）已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成600角的直线有条（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是600，则的取值可能是。A．300B．500C．600D．900解析：（1）过空间一点O分别作a∥a,b∥b。将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与ba,都成600角的直线。故过点O与a,b都成600角的直线有4条。（2）过点O分别作a∥a、b∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为600，等价于过点O有三条直线与ba,所成角都为600，其中一条正是角的平分线。从而可知为600。点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。【反馈演练】1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）答案：（1）×（2）×（3）√（4）×2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有4个。3．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是1。4．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为钝角三角形。5．已知四点，无三点共线，则可以确定1个或4个平面。6．某刺猬有2009根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有4014种不同的支撑身体的第6页共7页方式。【答案】4014．当有n根刺时有na种支撑法，n=4，5，6，…，则1312nnnaaa或1422nnnaaa∴{}nan=4，5，6，…，为等差数列，∵44a∴24nan，∴20094014a。7．在正方体1111ABCDABCD中，写出过顶点A的一个平面11ABD，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。8．P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么ABC的形状可以是。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形【答案】由题意可知ABC的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）。9．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是(1)(2)。10．三个平面α，β，γ两两相交，a，b，c是三条交线。（1）若abP，求证：a，b，c三线共点;(2)若//ab,用反证法证明直线a，b，c互相平行。证明：（1）设,,abc则,,PP∴Pc∴a，b，c三线共点于P。（2）假设,ac不平行，∵,ac共面∴可设acP由（1）可知：a，b，c三线共点于P，与已知条件//ab矛盾。∴//ac∴a，b，c互相平行。11．如图，已知,,,lAlBl（A,B不重合）过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。求证：AC和BD是异面直线。证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。这与已知条件平面α和β相交矛盾。所以AC和BD是异面直线。12．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于M，RQ，DB的延长线交于N，RP，DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线。证明：∵MPQPQR面，BCBCDM面αβlDBCAAKNMRQPDCB第7页共7页∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点即M在平面PQR与平面BCD的交线上。同理可证N，K也在该交线上。∴M，N，K三点共线。点评：利用两平面交线的唯一性，是证明多点共线的常用方法。