【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-解三角形的应用(含解析)

第1页共7页例1解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m．2．某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为_______________km．3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km．4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d与第二辆车与第三辆车的距离2d之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于C时，测得45BDC，75CBD，求炮击目标的距离AC解：在BCD中，由正弦定理得：sin60sin45aBC∴63BCa在ABC中，由余弦定理得：2222cosACABBCABBCABC∴5233ACa答：线段AC的长为5233a．【范例解析】例1.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．[来源:学#科#网Z#X#X#K]分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题．解：在BCD△中，πCBD．由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD．ABCD第5题23或3340030221dd第2页共7页北1B2B1A2A120105乙甲例2（1）所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD·．在ABCRt△中，tansintansin()sABBCACB·．答：塔高AB为tansinsin()s·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解．例2.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结12AB，由已知22102AB，122030210260AA，1222AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知，1120AB，1121056045BAB∠，在121ABB△中，由余弦定理，22212111211122cos45BBABABABAB22220(102)2201022200．12102BB．因此，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）．答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图（3），连结21AB，北1B2B1A2A120105甲乙例2（2）北1B2B1A2A120105乙甲例2（3）第3页共7页由已知1120AB，122030210260AA，112105BAA∠，cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin602(13)4，sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin602(13)4．在211AAB△中，由余弦定理，22221111211122cos105ABABAAABAA222(13)(102)202102204100(423)．2110(13)AB．由正弦定理1112111221202(13)2sinsin4210(13)ABAABBAAAB∠∠，12145AAB∠，即121604515BAB∠，2(13)cos15sin1054．在122BAB△中，由已知22102AB，由余弦定理，22212212221222cos15BBABABABAB2222(13)10(13)(102)210(13)1024200．12102BB，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）．答：乙船每小时航行302海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南（2cos10）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始O北东O线岸OQr(t)P45海第4页共7页受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件，[来源:Z*xx*k.Com]设出时间，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(1)，设经过t小时后台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为1060t()km．若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则1060OQt．在OPQ△中，由余弦定理得：2222cosOQPQPOPQPOOPQ．又300PO，20PQt，coscos(45)OPQ，故22400960090000OQtt．因此，22400960090000(1060)ttt，即2362880tt，解得1224t．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻t时台风中心Q（yx,）的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22tryyxx其中,6010)(ttr若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222tyx即22)22201027300()2220102300(tt2412,028836,)6010(22tttt解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解.【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距____________m．2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长____1___km．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行45海里后，看O北东Oy线岸OxQr(t)P45海例3（2）103153第5页共7页见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且120ABC，则第三条边AC的最小值是____________cm．[来源:学§科§网]5．设)(tfy是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（A）A．]24,0[,6sin312ttyB．]24,0[),6sin(312ttyC．]24,0[,12sin312ttyD．]24,0[),212sin(312tty6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，sinAIt，sin(120)BIt，sin(240)CIt，则ABCIII0．8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t时，点A与钟面上标12的点B重合，将,AB两点的距离()dcm表示成()ts的函数，则d，其中[0,60]t．9．如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角为45，则这两个航标间的距离为___600___m．PCBA4530第9题15372510sin60t第6题第6页共7页10．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选相距3km的C、D两点，并测得75ACB，45BCD，30ADC，30ADB（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离．解：在ACD中，3CD，120ACD，30ADC得3AC，则3AD．在BCD中，45BCD，3CD，60BDC，由正弦定理3sin75sin45BD得：33BD．在ABC中，由余弦定理229(33)23(33)cos30AB，解得310302AB．答：两目标A，B之间的距离310302km．11．在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(31)海里的B处有一走私船，在A处北偏西75方向，距离A处2海里C处的缉私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私艇用t小时在D处追上走私船，则有103CDt，10BDt，在ABC中，31AB，2AC，120BAC，由余弦定理得：6BC，在ABC中，由正弦定理：2sinsin2ACABCBACBC，45ABC，即BC与正北方向垂直，在BCD中，由正弦定理：1sinsin2BDBCDCBDCD，30BCD[来源:学,科,网]答：缉私艇沿东偏北30方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，060BCD，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,ABCD的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设(1.4)BCama，CDbm，连结BD．则在CDB中，2221()2cos60.2bbaab214.1abaBACD地面CDBA第10题CABD第11题第7页共7页21422.1abaaa设2.81,10.4,2tat则21(1)3422(1)347,4tbatttt等号成立时0.50.4,1.5,4.tab答：当3,4ABmCDm时，建造这个支架的成本最低．[来源:学科网]