【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-解三角形(含解析)

第1页共5页解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝.[来源:学,科,网]2．在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB．4．在△ABC中，若22tantanbaBA，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．5．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为．6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b=_____．【范例解析】例1.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知20ac，2CA，3cos4A．（1）求ca的值；（2）求b的值．分析：利用2CA转化为边的关系．解：（1）由sinsin232cossinsin2cCAAaAA．（2）由20,3.2acca得8,12.ac．由余弦定理2222cosabcbcA[来源:Zxxk.Com]得：218800bb，解得：8b或10b，若8b，则AB，得4A，即23cos24A矛盾，故10b．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB，试判断该三角形的形状．分析一：边化角46310223331第2页共5页解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]aABABbABAB，化简得222cossin2cossinaABbBA，由正弦定理得：22sincossinsincossinAABBBA，即sinsin(sincossincos)0ABAABB，又,(0,)AB，sinsin0AB，sin2sin2AB．又2,2(0,2)AB，22AB或22AB，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．分析二：角化边解法二：同解法一得：222cossin2cossinaABbBA，由正余弦定理得：2222222222bcaacbabbabcac，整理得：22222()()0abcab，即ab或222cab，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（233）．（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；（2）求221211ySS的最大值与最小值．分析：利用正弦定理建立目标函数．解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝233323＝，MAG＝6，由正弦定理GMGAsinsin66＝（－－）得3GM6sin6＝（＋）则S1＝12GMGAsin＝sin12sin6（＋），同理可求得S2＝sin12sin6（－）．（2）221211ySS＝222144sinsinsin66〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cossin）因为233，所以当＝3或＝23时，y取得最大值ymax＝240；ABCNMGD例3第3页共5页当＝2时，y取得最小值ymin＝216．[来源:学,科,网Z,X,X,K]点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.（1）证明：sincos20；（2）若AC=3DC，求．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.（1）证明：C，2CB，22，sincos20（2）解：AC=3DC，2sin3sin3cos223sin3.(0,)2，3sin2，3.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.【反馈演练】1．在ABC中，,75,45,300CAAB则BC=_____________．2．ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且2ca，则cosB_____．3．已知ABC顶点的直角坐标分别为(34)A，，(00)B，，(0)Cc，．若A∠是钝角，则c的取值范围___________．4．已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．5．在ABC中，若2abc，2sinsinsinABC，则ABC的形状是____等边___三角形．6．若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAA=．7．ABC的三个内角为ABC、、，则cos2cos2BCA的最大值为．8．在ABC中，已知CBAsin2tan，给出以下四个论断：①tan1tanAB；②1sinsin2AB；BDCαβA例4333425(,)3153323第4页共5页③1cossin22BA；④CBA222sincoscos．[来源:学科网]其中正确的序号有______②④_____．9．如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111ABC和222ABC都是锐角三角形；②111ABC和222ABC都是钝角三角形；③111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形；④111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形．其中，正确结论的序号有____④_____．10．在ABC中，已知2AC，3BC，4cos5A．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin26B的值．解：（Ⅰ）在ABC中，2243sin1cos155AA，由正弦定理，sinsinBCACAB．所以232sinsin355ACBABC．（Ⅱ）因为4cos5A，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是22221cos1sin155BB，222117cos22cos12()1525BB，221421sin22sincos25525BBB．sin2sin2coscos2sin666BBB42131712522521271750．11．在ABC中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．解：（1）ABC的内角和ABC，由00ABC，，得20B．应用正弦定理，知23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，第5页共5页2sin4sinsinBCABCxA．因为yABBCAC，所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63．[来源:Z。xx。k.Com]12．在ABC中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．所以，最小边2BC．