圆周运动及其应用专题复习整理

圆周运动及其应用专题复习一、圆周运动中的运动学分析(1)定义：线速度大小不变的圆周运动。(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。2．描述匀速圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)①v＝ΔxΔt＝2πrT②单位：m/s角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)①ω＝ΔθΔt＝2πT②单位：rad/s周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)①T＝2πrv＝2πω，单位：s②f＝1T，单位：Hz向心加速度①描述速度方向变化快慢的物理量(an)②方向指向圆心①an＝v2r＝ω2r②单位：m/s23.线速度、角速度、周期、向心加速度之间的关系(1)v＝ωr＝2πTr＝2πrf。(2)an＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2T2r＝4π2f2r。4.常见的三种传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。(2)摩擦传动：如图甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。(3)同轴传动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。【典例1】科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是()A.小齿轮逆时针转动B.小齿轮每个齿的线速度均相同C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍【答案】C【典例2】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()A．a、b和c三点的线速度大小相等B．b、c两点的线速度始终相同C．b、c两点的角速度比a点的大D．b、c两点的加速度比a点的大【答案】：D二圆周运动中的动力学分析1．匀速圆周运动的向心力(1)作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。(2)大小：F＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝mωv＝m·4π2f2r。(3)方向：始终沿半径方向指向圆心。(4)向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。3．离心现象(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。(2)受力特点①当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；②当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出；③当Fn＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动；④当Fn＞mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。【典例3】有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于摩托车说法正确的是()A.对侧壁的压力FN增大B.做圆周运动的周期T不变C.做圆周运动的向心力F增大D.做圆周运动的线速度增大【答案】D【典例4】汽车与路面间的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，问：(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？(2)若将公路转弯与路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角α，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无侧向摩擦力？【答案】：(1)μgR(2)gRtanα【典例5】（2015浙江理综·19）如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()A．选择路线①，赛车经过的路程最短B．选择路线②，赛车的速率最小C．选择路线③，赛车所用时间最短D．①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等【答案】：ACD【解析】由几何关系可求得路线①、②、③的长度分别为2r＋πr、2r＋2πr、2πr，比较可知，路线①最短，A项正确；由Fmax＝mv2R可知，R越小，速率越小，因此沿路线①速率最小，B项错误；沿路线①、②、③运动的速率分别为Fmaxrm、2Fmaxrm、2Fmaxrm，由三条路线长度与速率的比值比较可知，选择路线③所用时间最短，C项正确；由Fmax＝ma可知，三条线路的圆弧上赛车的向心加速度大小相等，D项正确。三圆周运动的实例分析1.凹形桥与拱形桥模型概述如图所示为凹形桥模型。当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝mv2r规律桥对车的支持力FN＝mg＋mv2r＞mg，汽车处于超重状态概述如图所示为拱形桥模型。当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝mv2r规律桥对车的支持力FN＝mg－mv2r＜mg，汽车处于失重状态。若v＝gr，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动2.火车转弯问题概述如图所示，火车转弯轨道，外高内低。火车转弯时，设转弯半径为r，若F向＝mgtanθ＝mv2r，车轮与内、外侧轨道无作用力，即v＝grtanθ规律当火车转弯时，若v＞grtanθ，则火车车轮对外侧轨道有作用力，若v＜grtanθ，火车车轮对内侧轨道有作用力【典例6】汽车沿半径为R的圆形跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆形跑道，车速最大不能超过多少？如图所示是汽车沿圆形跑道行驶时的背影简图，试根据图中车厢的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的形变情况判断圆形跑道的圆心位置在左侧还是在右侧？【答案】速率不能超过gR10跑道的圆心在右侧二、水平面的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。1.水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。2.水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。3.水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。（一）火车转弯问题【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于gRtanθ，则()A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C．这时铁轨对火车的支持力等于mg/cosθ；D．这时铁轨对火车的支持力大于mg/cosθ.【答案】：A.Com]（二）圆锥摆模型【典例2】(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的()A．周期相同B．线速度的大小相等C．角速度的大小相等D．向心加速度的大小相等【答案】AC【解析】设圆锥摆的高为h，则由三角形相似得mg·rh＝mv2r＝mω2r＝m2πT2r＝ma，故v＝rgh，ω＝gh，T＝2πhg，a＝rhg.因两圆锥摆的h相同，而r不同，故两小球运动的线速度不同，角速度的大小相等，周期相同，向心加速度不同．【典例3】如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小【答案】：D（三）水平面内圆周运动的临界问题1．水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题。常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。2．处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。(2)确定临界条件判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。(3)选择物理规律当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。【三种常见临界问题】1.与绳的弹力有关的临界问题质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝mv2ml，解得vm＝Fmlm。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。【典例探究】【典例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1kg的小球A，另一端连接质量为M＝4kg的物体B.求：(1)当A球沿半径为R＝0.1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10rad/s时，B对地面的压力为多少？(2)要使物体B对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10m/s2)【审题指导】由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手是解决本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”。【答案】(1)30N(2)20rad/s【解析】(1)对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则FT＝mRω2＝1×0.1×102N＝10N.对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力FT′＝FT、地面的支持力FN，由力的平衡条件可得FT＋FN＝Mg，所以FN＝Mg－FT.将FT＝10N代入上式，可得：FN＝4×10N－10N＝30N.由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30N，方向竖直向下。2.因静摩擦力存在最值而产生的临界问题在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当F静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝mv2mr，解得vm＝Ffmrm。这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。【典例2】如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg【答案】AC【解析】因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A项正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b·2l，可