3-5多维随机变量的函数分布-文档资料

二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布.,),,(,,,,的分布分布确定的如何通过的函数关系与并且已知表示该人的血压年龄和体重分别表示一个人的和令有一大群人ZYXYXgZYXZZYX为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布XY012121312312112101211221220122的分布律为设随机变量),(YX例1.)2(,)1(的分布律求YXYX概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123221,122121,121)2,3(122)0,3(122XY012121312312112101211221220122解等价于概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(1232,211221,21121)2,3(122)0,3(122YX321232113YX101252353YXP321232113121121123122121122122YXP01252353124121122121122122的分布律分别为所以YXYX,结论的联合分布律为若二维离散型随机变量,,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}),({}{kkzYXgPzZP.,2,1,)(kpjikyxgzij例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为XP105.05.0.),max(:的分布律试求YXZ},{}{},{jYPiXPjYiXP所以于是XY1010221221221221解,相互独立与因为YX}),{max(iYXP},{iYiXP},{iYiXP}0),{max(YXP}0,0{P,212}1),{max(YXP}1,1{}1,0{}0,1{PPP222212121.232的分布律为故),max(YXZZP104341XY1010221221221221的分布函数为则的概率密度为　　设YXZyxfYX),,(),(}{)(zZPzFZyxyxfzyxdd),(xyOzyxyux三、连续型随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布yxyxfyzdd),(yuyyufzdd),(.dd),(uyyyufz由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ由于X与Y对称,当X,Y独立时,也可表示为)(zfZ,d)()()(yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ或由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ解,,eπ21)(22xxfxX由于,,eπ21)(22yyfyY例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度..)2,0(分布服从即NZ2zxtttzdeeπ21242.eπ2142zxzfxzxZdeeπ21)(2)(222xzxzdeeπ212242得说明).,(~,).,(~),,(~,,222121222211σσμμNZYXZσμNYσμNXYX且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布..的概率密度求电阻其他它们的概率密度均为相互独立设串联联接和两电阻在一简单电路中212121.,0,100,5010)(,,,,RRRxxxfRRRR解的概率密度为由题意知R.d)()()(xxzfxfzfR例5,100,100xzx当,,10,100时即zxzxO1020zx10zxzx10x.d)()()(中被积函数不为零xxzfxfzfR)1(.,0,2010,d)()(,100,d)()()(10100其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf.,0,100,5010)(其他将xxxf此时.,0,100,50)(10)(其他xzxzxzf.,0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其他zzzzzzzfR式得代入)1(的分布YXZ.2分布函数为的则的概率密度为设YXZyxfYX),,(),(}{)(zZPzFZ}{zYXPxyOzyx1G2GyxyxfGdd),(1yxyxfGdd),(2yxyxfyzdd),(0,dd),(0yxyxfyz,yxu令yxyxfGdd),(1yxyxfyzdd),(0yuyyuyfzdd),(0uyyyuyfzdd),(0同理可得zGuyyyuyfyxyxf0,dd),(dd),(2故有}{)(zZPzFZyxyxfGdd),(1yxyxfGdd),(2yyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00.d),(yyyzfy当X,Y独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYX由此可得分布密度为.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz..,0,0,e2)(,,0,0,e)(,,,,2的概率密度函数试求其他其他它们的概率密度分别为相互独立寿命的灯泡的分别表示两只不同型号设YXZyyfxxfYXYXyx,d),(d),()(00yyyzyfyyyzyfzfZ解由公式例6.,0,0,0,ee2),(2其他yxyxfyxyyzyde2)2(0,)2(22zyyzfyyzZdee2)(20得所求密度函数)0(时当z)0(时当z,0)(zfZ得.0,0,0,)2(2)(2zzzzfZ第三章随机变量及其分布补充结论：则令：,YXZdyyyzfzfZ，，，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX（1）则令：,XYZ（2），，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYXdyyyyzfdxxxzxfzfZ1,1,的分布及),min(),max(.3YXNYXM则有}{)(maxzMPzF},{zYzXP}{}{zYPzXP).()(zFzFYX}{)(minzNPzF}{1zNP},{1zYzXP}{}{1zYPzXP),()(,,yFxFYXYX和的分布函数分别为它们变量是两个相互独立的随机设)].(1)][(1[1zFzFYX}]{1[}]{1[1zYPzXP故有),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX推广的分布函数分别为及则),,,min(),,,max(2121nnXXXNXXXM),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX),,2,1()(,,,,21nixFnXXXiXni它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设)].(1[)](1)][(1[1)(21minzFzFzFzFnXXX则分布函数相互独立且具有相同的若,)(,,,21xFXXXn,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF.),,((iii),(ii),(i),,2121如图所示开始工作系统损坏时当系统备用并联串联连接的方式分别为联接而成统由两个相互独立的子系设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例7度分别为已知它们的概率密的寿命分别为设,,,21YXLL,0,0,0,e)(xxαxfαxX由解串联情况(i),,,21就停止工作系统中有一个损坏时由于当LLL的寿命为所以这时L).,min(YXZ..0,0的概率密度的寿命接方式写出试分别就以上三种联且其中ZLβαβα,0,0,0,e1)(xxxFαxX,0,0,0,e)(xxαxfαxX,0,0,0,e)(yyβyfβyY;0,0,0,e)(yyβyfβyY由.0,0,0,e1)(yyβyFβyY)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX.0,0,0,e1)(zzzβα.0,0,0,e)()()(minzzβαzfzβα的寿命为所以这时L).,max(YXZ的分布函数为),max(YXZ)()()(maxzFzFzFYX.0,0,0),e1)(e1(zzβzαz.0,0,0,e)(ee)()(maxzzβαβαzfzβαβzαz并联情况(ii),,,21才停止工作系统都损坏时由于当且仅当LLL,,21才开始工作系统损坏时由于这时当系统LL即两者之和是的寿命因此整个系统,,21LLZLYXZ的概率密度为时当YXZz,0yyfyzfzfYXd)()()(zβyyzαyβα0)(deezyαβαzyαβ0)(dee备用的情况(iii),0)(,0zfz时当的概率密度为于是YXZ.0,0,0],ee[)(zzαβαβzfβzαz].ee[βzαzαβαβ本节的解题步骤，分布函数的，先求随机变量函数zFYXgZZ，密度函数的，再求随机变量函数zFzfYXgZZZ第三章随机变量及其分布例8解：的密度函数．，试求随机变量令，，，，相互独立，与设随机变量ZYXZNYNXYX2210~10~由题意，可知数为的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于YXYX,2122xexfxfxYX第三章随机变量及其分布例8（续）yxeyxfyx，，22221的分布函数为所以，22YXZzZPzFZzYXP22，则若0Z0zFZ第三章随机变量及其分布，则若0ZzYXPzFZ22zyxdxdyyxf22，zyxyxdxdye2222221例8（续）则有，，作极坐标变换sincosryrxzrZrdredzF0220221zrrdre022第三章随机变量及其分布000022zzrdrezFzrZ的密度函数为所以，22YXZ00022zzzezfzZ四、小结1.离散型随机变量函数的分布律的联合