二维随机变量及其分布函数

图示e)(eYS)(eX.,),(,)()(,}{,二维随机变量叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量上的随机变量是定义在和设它的样本空间是是一个随机试验　　设YXSeYYeXXeSE一、二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明2.分布函数的定义.,),(},{)}(){(),(:,,,),(的联合分布函数和量或称为随机变的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYXxOy),(yxyYxX,.),(内的概率在如图所示区域的函数值就是随机点落　　yxF3.分布函数的性质),,(),(,,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF时当意固定的即对于任的不减函数和是变量).,(),(,1212yxFyxFyyx时当对于任意固定的,1),(02oyxF,y对于任意固定的,0),(lim),(yxFyFx且有,x对于任意固定的,0),(lim),(yxFxFy.1),(lim),(yxFFyx.,),(,)0,(),(,),0(),(3o也右连续关于右连续关于即yxyxFyxFyxFyxFyxF,0),(lim),(yxFFyx,,),,(),,(421212211oyyxxyxyx对于任意.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF有证明},{2121yYyxXxP,0},{212yYyxXP},{22yYxXP.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF故},{211yYyxXP},{12yYxXP},{21yYxXP},{11yYxXP二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数4.二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.1.定义2.二维离散型随机变量的分布律.,),(,,2,1,,},{,,2,1,),,(),(的联合分布律和或随机变量的分布律变量称此为二维离散型随机记值为所有可能取的设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji二、二维离散型随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为.1,011ijijijpp其中(,)ijijPXxYypXYjyyy21ixxx21111212122212jjiiijppppppppp.),(.~1,4,3,2,1的分布律试求整数值中等可能地取一在另一个随机变量取值四个整数中等可能地在设随机变量YXXYX解:},{的取值情况是jYiX,4,3,2,1i.的正整数取不大于ij且由乘法公式得},{jYiXP}{}{iXPiXjYP,411i,4,3,2,1i.ij的分布律为于是),(YX例1XY12341234418112116108112116100121161000161(X,Y)所取的可能值是),0,0(解),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(}0,0{YXP,28328230203抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔,一支红笔例2从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.}1,0{YXP,14328131203}2,0{YXP}0,1{YXP}0,2{YXP}1,1{YXP,14328031213,28128032203,28928130213.28328030223故所求分布律为XY210283289283143143028100012例3一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的可能取为),2,1(,312231}2,1{YXP,312132}1,2{YXP.312132}2,2{YXP解),1,2().2,2(故(X,Y)的分布为XY21213103131,31,022211211pppp下面求分布函数.2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时或当yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时当yx,2,21)3(时当yx),(yxF},{yYxXP;011p;01211pp;31,21,2)4(时当yx;31),(2111ppyxF,2,2)5(时当yx),(yxF22122111pppp.12112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(所以(X,Y)的分布为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或,),(xxyyijijpyxF说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为.,,求和的其中和式是对一切满足jiyyxxji.,),(),(,),(,dd),(),(,),(,),(),(的联合概率密度和变量或称为随机的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx1.定义三、二维连续型随机变量及其分布.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质(3),(,)GxOyXYG设是平面上的一个区域点落在内的概率为.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若表示介于f(x,y)和xOy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,dd),(}),{(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf3.说明.),(,}),({为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz}.{)();,()(.,,,,e),(),()(XYPyxFyxyxfYXyx求概率求分布函数其他具有概率密度设二维随机变量2100022例1解yxvuvufyxFdd),(),()1(.,0,0,0,dde200)2(其他yxvuyxvu.,0.0,0),e1)(e1(),(2其他得　　yxyxFyx},),{(}{GYXXY}),{(}{GYXPXYP(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有XYGxyOyxyxfGdd),(yxyyxdde20)2(.31二维均匀分布和二维正态分布1.二维均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布..,0,),(,1),(其他DyxSyxf例1已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的概率密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.解.,0,),(,2),(其他得Dyxyxf,01时或当yx0),(yxf;0dd),(),(vuvufyxFxy.,0,),(,1),(其他由DyxSyxfxyO1xy11vuvufyxFxydd),(),(yxyuyvuvu011011d2dd2d;)22(yyx,10,01时当xyx1xy111yxxyO,1,01时当xyxvuvufyxFxydd),(),(;)1(d2d2101xvuuxxyO1xy11x,10,0时当yxvuvufyxFxydd),(),(yyuyvuvu0011011d2dd2dxyO1xy111y;)2(yy注：先对u积分，再对v积分更容易。,1,1时当yxvuvufyxFyxdd),(),(.1d2d0110uvu.1,1,1,10,0,)2(,1,01,)1(,10,01,)22(,0,1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或所以(X,Y)的分布函数为2.二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2222212121212)())((2)()1(21221e1π21),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx记为正态分布的二维服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX二维正态分布的图形