【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-几何概型(含解析)

第1页共4页几何概型【考点导读】1．了解几何概型的基本特点.2．会进行简单的几何概率的计算.【基础练习】[来源:学科网]1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是0.0042.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是31[来源:Zxxk.Com]3.在1万km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是25014.如下图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是94.3cm2cm5.如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是61.【范例解析】例1.在等腰Rt△ABC中，(1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.（2）过直角顶点C在ACB内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率.解：(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜CA）=22ABACABCA.ABCC'M(2)在AB上截取AC′=AC,00'01804567.52ACCxyOAT(第5题)(第4题)BACM(2)(1)第2页共4页于是P（AM＜AC）0067.53904点评（1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.[来源:学科网ZXXK]例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=(,][0,]raa的长度的长度=ara例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为lxy.则实验的全部结果可构成集合(,)0,0,0xyxlylxyl，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合1,,,222llAxyxyyx所求的概率为221122()42AlSPAlS点评用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.【反馈演练】1.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是31[来源:Z#xx#k.Com]2.某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率61．2aroM0ll第3页共4页解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=605060=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．3．若x可以在13x的条件下任意取值，则x是负数的概率是2/3.4.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)=所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01．[来源:学_科_网Z_X_X_K]5.在区间1,1上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率1/2.6.如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a与12a，高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为125aaab11237．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a，则该人到站的时刻的一切可能为(,5)aa，若在该车站等车时间少于3分钟，则到站的时刻为(2,5)gaa，3()5PAg的长度的长度.8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯(2)黄灯(3)不是红灯解：总的时间长度为3054075秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B，（1）出现红灯的概率302()755PA构成事件A的时间长度总的时间长度第4页共4页（2）出现黄灯的概率51()7515PB构成事件B的时间长度总的时间长度（3）不是红灯的概率23()1()155PAPA9.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2）.∴P（A）=7523600184.30m20m2m10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x分钟和y分钟到达，则样本空间为,060,060Dxyxy,画成图为如图所示的正方形.会面的充要条件是20xy，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分.所以，2260405.9dPAD2的面积＝60的面积020606020