【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-空间中的垂直关系(含解析)

第1页共6页空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。[来源:学+科+网Z+X+X+K]2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。【基础练习】1．“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的必要条件。2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。3．已知、是两个平面，直线,.ll若以①l，②//l，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是2个。4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6。5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。6．在正方体1111ABCDABCD中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。【范例导析】例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB,[来源:学科网]所以,PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴DCPD∵PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴PCDE.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC,∴DEBC.②由①和②推得DE平面PBC.而PB平面PBC,∴PBDE又PBEF且EEFDE,所以PB⊥平面EFD.例2．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；ABCDPEF第2页共6页（3）平面DEA⊥平面ECA。分析：（1）证明DE＝DA，可以通过图形分割，证明△DEF≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM⊥EA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形。从而证明DM⊥平面ECA。证明：（1）如图，取EC中点F，连结DF。∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC。∴DB⊥AB，EC⊥BC。∵BD∥CE，BD＝21CE＝FC，则四边形FCBD是矩形，DF⊥EC。又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE＝DA。（2）取AC中点N，连结MN、NB，∵M是EA的中点，∴MN21EC。由BD21EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN。∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA．又EAMN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM，则平面ECA⊥平面BDM。（3）∵DM⊥平面ECA，DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。分析：（1）由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B，只要证明C1D垂直交线A1B1，由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D⊥AB1，只要过D作AB1的垂线，它与BB1的交点即为所求的F点位置。证明：（1）如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1。第3页共6页∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求。∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。点评：本题（1）的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。备用题．如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将,AEDDCF分别沿,DEDF折起，使,AC两点重合于点A，求证：ADEF．（2）当14BEBFBC时，求三棱锥AEFD的体积．变式题．如图，在矩形ABCD中，2,1,ABADE是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，使D为D，且平面DAE平面ABCE．求证：ADEB；解：在RtBCE中，222BEBCCE，在RtADE中，222AEDADE，ABCDEABCDEABCDEFAEBDF第4页共6页∵22222ABBEAE，∴AEBE．∵平面AED平面ABCE，且交线为AE，∴BE平面AED．∵AD平面AED，∴．[来源:学.科.网]【反馈演练】1．下列命题中错误的是（3）。（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直2．设zyx,,是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若zx，且yxzy//,则”为真命题的是①③④（填所有正确条件的代号）①x为直线，y，z为平面②x，y，z为平面③x，y为直线，z为平面④x，y为平面，z为直线⑤x，y，z为直线3．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为26。4．已知三棱锥ABCP中，顶点P在底面的射影O是三角形ABC的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱PCPBPA；②侧棱PCPBPA、、两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是①②。5．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_____4____个。[来源:学.科.网]6．若AB的中点M到平面的距离为cm4，点A到平面的距离为cm6，则点B到平面的距离为_2或14________cm。7．三棱锥ABCP中，侧棱PCPBPA、、两两垂直，底面ABC内一点S到三个侧面的距离分别是632、、，那么PS__7______。8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的表面积是23a.9．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）10．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：。答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β11．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE；第5页共6页（2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．解:(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF.BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则h1∶h2=EP∶AP=2∶3,.31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVVVV故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1点评：值得注意的是,“截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序,因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误.12．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=a2，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；[来源:Zxxk.Com]（2）设SB的中点为M，当ABCD的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.解：（1）∵CD∥AB，AB平面SAB∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，∴CD∥EF∵,,900ADCDD又SD面ABCD∴CDSDCD平面SAD，∴EDCD又CDABEFEFCD为直角梯形ABCDSEFM第6页共6页(2)当2CDAB时，DMC为直角三角形.02245,2,2,BDCaADABBDaCDaABBDBCaBC,2,SD平面BCBCSDABCD,,平面SBD.在SBD中，MDBSD,为SB中点，SBMD.MD平面MCSBC,平面,SBCMDMCDMC为直角三角形。