1.2.2任意三角形的面积公式解读

任意三角形的面积公式与应用一、三角形的面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB111222ABCabcSahbhchABCabcha二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?S△＝abc4R，R为外接圆半径．S△＝2R2sinAsinBsinC温故知新ABCabcha因为:ha=bsinC又所以:hb=csinAhc=asinB111222ABCabcSahbhch111sinsinsin222ABCSabCbcAacB三角形面积公式的推导S△＝abc4R，R为外接圆半径．2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）111sinsinsin222ABCSabCbcAacB因为:所以:三角形面积公式的推导S△＝2R2sinAsinBsinC和三角形面积公式S△＝12(a＋b＋c)r＝pp－ap－bp－c，其中r为△ABC内切圆半径，p为半周长．三角形面积的其他相关公式附:根据已知条件选择适当公式使用。1．在△ABC中，已知C＝60°，b＝43，则BC边上的高等于()A.3B．23C．43D．6解析：BC边上的高等于bsinC＝6.答案：D2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由12×BC×ACsinC＝33，得12×4×3sinC＝33，所以sinC＝32.所以C＝60°或120°.又△ABC是锐角三角形，所以C＝60°.答案：B典例导悟类型一三角形中的面积计算[例1](2012·全国新课标卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.[解](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.[点评]本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．变式训练1在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cosA＝78，求△ABC的面积．解：∵b2－bc－2c2＝0.∴b＝2c或b＝－c(舍去)．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－74bc＝6.与b＝2c联立，得b＝4，c＝2，∵cosA＝78，∴在△ABC中，sinA＝1－cos2A＝158.∴S△ABC＝12bcsinA＝152.类型二三角形中线段长度的计算[例2]在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长a.[分析]由题目可获取以下主要信息：①c＝4，b＝7.②AD为中线且AD＝72.解答本题可先令CD＝DB＝x.在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余弦定理，便可求出x.[解]如图所示，∵AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.∵c＝4，b＝7，AD＝72，在△ACD中，有cosC＝72＋x2－7222×7×x，在△ABC中，有cosC＝72＋2x2－422×7×2x.∴72＋x2－7222×7×x＝72＋2x2－422×7×2x.解得x＝92.∴a＝2x＝9.类型三三角形中的综合问题[例3]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．[分析]利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值．[解](1)由题意可知12absinC＝34×2abcosC.所以tanC＝3，因为0Cπ，所以C＝π3.(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－A－π3)＝sinA＋sin(2π3－A)＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sin(A＋π6)≤3(0A2π3)．当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sinA＋sinB的最大值为3.[点评](1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．(2)此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．变式训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解：(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，0Cπ，∴sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理，asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14，0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0，解得b＝6或26.∴b＝6，c＝4，或b＝26，c＝4.1．解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．思悟升华2．对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形，用正弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的边所对的角，可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接判断出所求角是锐角还是钝角，但计算复杂，所以，在使用正、余弦定理解三角形时，要注意比较它们的异同点，灵活选用定理解题．利用正、余弦定理不仅能求角的函数值，反过来，还能求角的大小．3．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求值问题．三角形面积公式S△＝12aha＝12absinC＝abc4R＝12(a＋b＋c)r＝2R2sinAsinBsinC＝pp－ap－bp－c，其中r为△ABC内切圆半径，R为外接圆半径，p为半周长．归纳总结结束寄语在数学领域中,重视学习的过程比重视学习的结果更为重要.下课了!3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，且周长为30，则S△ABC＝()A.15314B.13314C．133D．153课后补充练习解析：由正弦定理知，sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:5:7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，又a＋b＋c＝30，∴k＝2，即三边长为a＝6，b＝10，c＝14.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝1314，sinA＝3314.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×10×14×3314＝153.答案：D4．在△ABC中，BC＝1，B＝π3，当△ABC的面积等于3时，sinC＝________.解析：△ABC的面积S＝12acsinB＝3，解得c＝4.所以b＝a2＋c2－2accosB＝13.所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－1313.所以sinC＝23913答案：239135．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°∴AC2－23AC＋3＝0.∴AC＝3.∴S△ABC＝12AB·ACsin30°＝12×2×3×12＝32.答案：326．若△ABC的面积为32，c＝2，A＝60°，求b，a的值．解：∵S＝12bc·sinA＝bsin60°＝32，∴b＝1.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝3.