各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要......................................................................................................................................1关键词.................................................................................................................................1Abstract...............................................................................................................................1Keywords...........................................................................................................................1前言......................................................................................................................................11.预备知识.......................................................................................................................12.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广..............................................................22.1Cauchy-Schwarz积分不等式..........................................................................................22.2Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广...............................................................42.3Holder积分不等式.............................................................................................................52.4Minkowski积分不等式.....................................................................................................93.实例应用.....................................................................................................................103.1Cauchy-Schwarz积分不等式的实例..........................................................................103.2Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用.......................................................123.3Holder积分不等式的应用............................................................................................123.4运用Minkowski积分不得不等式证明范数............................................................134.结束语.........................................................................................................................13参考文献..........................................................................................................................141各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz积分不等式；行列式；Holder积分不等式；Minkowski积分不等式TheexamplesofapplicationandinductiononsomeformsofSchwarzintegrationinequalitiesAbstract：ThispaperwillenumerateandthenprovesomeformsofSchwarzintegrationinequality,therebyillustrateitsimplementationinpracticalproblems.Keywords：Cauchy-Schwarzintegralinequality;Determinant;Holderintegralinequality;Minkowskiintegralinequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz积分不等式，首先我们给出了Schwarz积分不等式的一般形式、Schwarz积分不等式的形式推广和Schwarz积分不等式最出名的推广就是Holder积分不等式以及Minkowski积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1.预备知识定理1.1(Cauchy不等式)[3]已知12,,...,,naaa12,,...,nbbb为实数，则222111nnniiiiiiiabab.(1)等式成立当且仅当iiab,1,2,,in.这是最常见的Cauchy不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家J.L.Lagrange.Cauc-hy不等式可以推广至复数.如何推广呢?不等式只在实数时才有意义，对于复数自然2的选择其长度.对任意复数zxiy，其长度22zxy，因此对于(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2(Cauchy不等式)[3]已知12,,...,,naaa12,,...,nbbb为复数,则222111nnniiiiiiiabab(2)等式成立当且仅当iiab,1,2,,in，为复数.定理1.3(Cauchy不等式)[3]已知ia,ibC,则112222,111ijijijijabab(3)等式成立当且仅当iiab,1,2,,in，C.如果21iia、21iib，则1iiiab.从Cauchy不等式的角度而言，无穷数列1iia的平方和收敛，21iia，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l空间.这是n维实数空间nR最自然的推广，它是一个Hilbert空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和无穷级数积分(4)因此想当然Cauchy不等式是可以推广至积分.2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广2.1Cauchy-Schwarz积分不等式定理2.1.1(Cauchy-Schwarz积分不等式)[1]已知()fx,()gx均在,ab上连续，则222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx.(5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我3们也从级数开始，设,ab上有1n个点，依次为0121nnaxxxxxb，它们把,ab分成n个小区间1,iiixx，i=1,2,…,n.iban，记12,,,nT.这些分点构成对,ab的一个分割.在每个小区间i上任取一点i，作以()()iifg为高，i为底的小矩形.因为()fx,()gx均在,ab上连续，则()fx,()gx均在,ab上可积，有222111()()()()nnniiiiiiibababafgfgnnn，两边求极限，2201lim()()()()nbiiaTibafgfxgxdxn，2222011lim()()()()nnbiiaTiibabafgfxgxdxnn，则222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为2222()()()2()()()bbbbaaaaxftgtdtftdtxftgtdtxgtdt，可视为x的二次方程式，由于2()()0baxftgtdt，而且2()0baftdt,所以上式表示的是开口向上而且在轴x上方的抛物线，由于和x轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式2224()()4()()0bbbaaaftgtdtftdtgtdt，整理得222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx.(法三:半正定)注意到关于1t，2t的二次型422222121122()()()2()()()bbbbaaaatfxtgxdxtfxdxttfxgxdxtgxdx为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bbaabbaafxfxdxfxgxdxfxgxdxgxgxdx=2()bafxdx2()bagxdx-2()()0bafxgxdx，即222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()fx、()gx是平方可积分函数(2,Lab)则Cauchy-Schwarz积分不等式仍然成立.其空间关系可对照前一式(4):222RlL.(6)2.2Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz积分不等式222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bbaabbaafxfxdxfxgxdxfxgxdxgxgxdx0.以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1(Schwarz积分不等式形式推广)[2]设()fx，()gx，()hx均在,ab上可积，则有()()()()()()()(