对数函数及其性质

第1页共10页2.2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征logax的系数：1logax的底数：常数，且是不等于1的正实数logax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x，不是自变量x(2)×对数式后加2(3)×真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1(4)×底数是自变量x，不是常数(5)√底数是6，真数是x答案：(5)2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质(1)图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域{x|x＞0}(2)值域{y|yR}(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0(4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第2页共10页解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)性质定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y＝1来切，自左到右a变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，43，35，110中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A．3，43，35，110B．3，43，110，35C．43，3，35，110D．43，3，110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第3页共10页①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB．12xC．12logxD．2x－2解析：因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1,9]C．(0,1)D．[9，＋∞)解析：∵0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(5,1)B．(1,5)C．(1,1)D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出1nam，再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程loga4＝－2，则a－2＝4，由于2142，所以12a．又a＞0，所以12a．当然，也可以直接写出124a，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a．【例4－1】已知f(ex)＝x，则f(5)＝()A．e5B．5eC．ln5D．log5e解析：(方法一)令t＝ex，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt，即f(x)＝lnx．所以f(5)＝ln5．(方法二)令ex＝5，则x＝ln5，所以f(5)＝ln5．答案：C【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点1,29，试求f(3)的值．分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，∵对数函数f(x)的图象经过点1,29，∴11log299af．∴a2＝19．第4页共10页∴a＝11222111933．∴f(x)＝13logx．∴f(3)＝111331log3log3＝－1．【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝12，试求b的值．解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则它的反函数为y＝ax(a＞0，且a≠1)，由条件知a2＝9＝32，从而a＝3．于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝12，解得b＝1233．5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)0.5log(43)yx．分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．(2)要使函数有意义，则540,210,211,xxx解得x＞45且x≠1，所以函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是4,15(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,xx解得34＜x≤1，所以函数0.5log(43)yx的定义域是314xx．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．(3)对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第5页共10页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝212log(32)xx＋－．解：(1)∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2．∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．又y＝12logu在(0，＋∞)上为减函数，∴12logu≥－2．∴函数y＝212log(32)xx＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．分析：先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．令t＝log3x(x[1,3])．∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y＝b＋klogaf(x)(k，b均为常数，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点(m，b)．方程f(x)＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------→向左(b0)或向右(b0)平移|b|个单位长度函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)②函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――---------------→向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单