材料力学之能量法

1FFyzxFF第一章能量法2第一章能量法•§1-1杆件应变能的计算•§1-2杆件应变能的普遍表达式•§1-3卡氏定理•§1-4莫尔积分•§1-5图形互乘法•§1-6虚功原理•§1-7剪力对弯曲变形的影响•§1-8功的互等定理和位移互等定理目录3§1-1杆件应变能的计算一、拉压EAlFlFWVNS2212ΔLFOABΔLFEAlFlN在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性体的应变能。即W=VSlΔlF§1-1杆件应变能的计算4二、扭转PSGIlTTWV2212φTOABφTPGIlTlφTT§1-1杆件应变能的计算5三、弯曲EIlMMWVS2212θMOABθMEIlMZEIM1l§1-1杆件应变能的计算MρθMl6拉压扭转弯曲对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。再积分求出杆件的应变能。dxxEAxFdVNS22dxxEAxFVlNS22dxxGIxTdVPS22dxxGIxTVlPS22dxxEIxMdVS22dxxEIxMVlS22§1-1杆件应变能的计算7杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外力做的功统一写成FW21式中F——广义力；δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。§1-1杆件应变能的计算8FxxMx解：求图示截面上的内力。即弯矩积分求出梁的应变能VsEIlFdxFxEIdxEIxMVllS621232022在变形过程中，外载荷所做的功为求图示悬臂梁的应变能Vs和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。FBAlAFyW21由于应变能Vs等于外载荷所做的功W。即VS=WAFyEIlF21632由该式得自由端的挠度EIlFyA33由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。§1-1杆件应变能的计算例题1-19在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。xMxFNxTdxxMxFNxT这些内力对所研究微段来说，都是外力。由于各组力做功相互独立，互不影响，该微段上的外力做功可写为dxMdxTldxFdWN212121§1-2杆件应变能的普遍表达式§1-2杆件应变能的普遍表达式10积分求出整个杆件的应变能为dxEIxMdxGIxTdxEAxFVllPlNS222222该功等于微段内的应变能。即dxEIxMdxGIxTdxEAxFPN222222dxMdxTldxFdVdWNS212121§1-2杆件应变能的普遍表达式11F1F2F3F4Δ1Δ2Δ3Δ4弹性体上作用载荷时，它的作用点也因物体变形产生位移，载荷在此位移上做功，其值等于弹性体的应变能。所以可用载荷做功来求应变能。nniiSFFFFWV212121212211其中Δ1，Δ2，…Δi，…Δn为F1，F2，…Fi，Fn共同作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉贝依隆原理。由于位移Δ1，Δ2，…Δi，…Δn与外力F1，F2，…Fi，Fn之间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，所以应变能不能叠加。§1-2杆件应变能的普遍表达式12简单说明C：先加F1，再加F2D：先加F2，再加F1§1-2杆件应变能的普遍表达式常力F1在Δl2上作功F1F2F1F2F1F2212221lFlF1121lFVSEAlFFEAlFFEAlFEAlF222221212221）（EAlFFlFlFlFVS2)(2121221121122E：同时加F1、F2EAlFFEAlFFFFVS2)()(212212121A：F1单独作用11121lFVSB：F2单独作用22221lFVS注意：VS≠V1+V213结论：应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用时弹性体的应变能。应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。§1-2杆件应变能的普遍表达式14先加F0,再加F1、F2、…Fn（单位载荷法）F1F2FnΔ1Δ2ΔiΔnCABABF0Δ0CABF1F2FnΔ1Δ2ΔiΔndxEIxMVlS22dxEIxMVlS220SiSSVFVV001§1-4莫尔积分§1-4莫尔积分15dxEIxMxMFli0令F0=1，即得计算位移的莫尔积分dxEIxMxMli（单位载荷法）§1-4莫尔积分llllSdxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMV2222222同时加F0、F1、F2、…Fn应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。21SSVVilliSSSFdxEIxMdxEIxMFVVV0220012216dxEIxMxMli积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力的方向相反。Δi为广义位移，相应的单位力为广义力。莫尔积分的一般表达式可写成dxGIxTxTdxEAxFxFlPlNNidxEIxMxMdxEIxMxMlzzzlyyy（单位载荷法）§1-4莫尔积分17解:（1）在C点施加单位力（2）分别写出实际载荷和单位力作用下的弯矩方程（单位载荷法）§1-4莫尔积分例题1-2梁的抗弯刚度EI为常量试求C点的挠度。FCa2BAa1Ca2BAa1x1x2x2x2F21112xFxM1121xxM22FxxM22xxM（3）积分运算dxEIxMxMyCEIFa3aadxxFxdxxxFEI200222111212118解：写出AB及BC段的弯矩方程图示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移yA及截面B的转角θB。FBAlaＣx111FxxMAB段FaxM2BC段x21BAx1Ｃx2为求A点的垂直位移，在A点加一垂直向下的单位力并写出弯矩方程11xxMAB段axM2BC段使用莫尔积分，A点垂直向下的位移为laAdxEIxMxMdxEIxMxMy02221011aldxaFadxxFxEI0021111lFaFaEI2331A点位移方向与单位力相同即垂直向下（单位载荷法）§1-4莫尔积分例题1-319解：写出AB及BC段的弯矩方程图示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移yA及截面B的转角θB。FBAlaＣx111FxxMAB段FaxM2BC段x2x201xMAB段12xMBC段使用莫尔积分，B截面的转角为EIFaldxFaEIlB0211Ｃ为求B截面的转角，在B截面加一单位力偶并写出弯矩方程。1BAx1计算结果为负，表示B截面转角与单位力偶的方向相反。即为顺时针方向。变形后的刚架如图中虚线所示。（单位载荷法）§1-4莫尔积分例题1-320dxGIxTxTdxEAxFxFlPlNNidxEIxMxMdxEIxMxMlzzzlyyy莫尔积分也可适用于桁架、刚架、曲杆等结构。对于桁架莫尔积分可改写成njjjjNjNjiAElFF1（单位载荷法）§1-4莫尔积分FNj——第j根杆中外力所引起的轴向力；FNj——第j根杆单位力引起的轴向力；EjAj，lj——相应杆的抗拉刚度和杆长。21（单位载荷法）§1-4莫尔积分例题1-4图示桁架,求节点B的垂直位移。已知各杆的EA相同。611jjNjNjBlFFEAyB132456lllAFB132456lllA1杆号123456FF2FFF2F2000112ll2lll2lNjFNjFjljNjNjlFF00Fl0Fl22Fl2解：1.在节点B施加垂直向下的单位力。2.列表形式计算出、、NjFNjFjl611jjNjNjBlFFEAyFlFlFlEA2221EAFl22322（单位载荷法）§1-4莫尔积分例题1-5图示小曲率曲杆，在截面A，B处，受一对集中力F的作用，试计算两截面之间的相对错动△和相对转角θ。设抗弯刚度EI已知，轴力和剪力引起的变形忽略不计。11sinFRM2.在A，B两点加一对单位力，其弯矩方程为11sinRM3.根据单位载荷法，A、B间相对错动为EIFRREIFR2πdsin23π0224.在A，B两点加一对单位力偶，弯矩方程为1M解：1.写出外载作用下的弯矩方程5.求A，B两点的相对转角BFFRA1B11RA22sinFRM22sinRM2B11RA12π022π011dsindsinREIFRREIFR023xMxMdxEIxMxMl在等截面直杆的情形下,EI为常量.这样就只需计算积分dxxMxMl直杆在单位力或单位力偶作用下,其内力图必是直线或折线.xdxyoyoαxdxxMltanCCMx..tan§1-5图形互乘法CCxdxxxMltandxxMxMlEIMCiω——弯矩图的面积——弯矩图的形心对应的图的高度。CMM§1-5图形互乘法CM24常用图形面积A和形心C：hbc2/bhA3/bChbc3/bhA4/bChbc3/2bhA8/3bC§1-5图形互乘法25图示悬臂梁AB,抗弯刚度EI为常量,求A截面的挠度和转角。lFAB解：先求A点的挠度（1）在A点沿铅垂方向施加单位力l1AB（2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图Fll（3）图形互乘EIMCiEIFlllFlEIyA332..2113例题1-6§1-5图形互乘法26解：再求A截面的转角（1）在A截面处施加单位力偶图示悬臂梁AB,抗弯刚度EI为常量,求A截面的挠度和转角。lFAB（2）作载荷作用下和单位力偶作用下的弯矩图Fl（3）图形互乘EIMCiEIFllFlEIA21..2112例题1-6l1AB1§1-5图形互乘法27解：（1）在C截面处施加单位力（2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图（3）图形互乘EIMCiEIqlllqlEIyC484..8.3214例题1-7图示简支梁AB,抗弯刚度EI为常量,求梁中点C的挠度BA2/lqC2/l对否？BA2/l1C2/l8/2ql4/lEIqlllqlEIyC38454.85.2.8.32242单位载荷内力图为折线时，互乘时按折点进行分段。§1-5图形互乘法28例题1-81BACa解：（1）在梁的A端施加单位力（2）绘载荷作用下的弯矩图（4）图形互乘（3）绘单位力作用下的弯矩图311iCiiMEIEIqa3242/2qa2qa12332...2112aaqaEIyA32.2..212aaqa2.2.2.322aaqaqaqa21qa