高中数学必修五《等差数列前n项和》优秀教学设计

必修五2.3等差数列前n项和（第一课时）教学目标1．通过实例，探索等差数列的前n项和公式，了解倒序相加法；2．掌握等差数列的前n项和公式，并能用其解决一些简单问题；3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规4．通过现实问题和数学小故事，让学生体会数学问题与现实生活紧密联系，培养学生的数学文化素养，激发学生探究的兴趣，增强学生学好数学的心理体验。教学重点：探索并掌握等差数列前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。教学准备：多媒体课件教学过程：一、创设问题，导入新课出示图片印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？生：只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.师：对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？(学生自主探究，请学生说出自己的计算方法。很多学生都能采用高斯算法）师：同学们生：首尾配对相加的方法，就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.师：对，同学们想到的这个方法和小高斯想的不谋而合.高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050.高斯回答的方法就是刚才大家说的方法.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.希望大家也能像高斯一样善于观察，敢于思考.师：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生：这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.二、合作探究，推进新课师：我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第49层，得到右图，则图中第1层到第49层一共有多少颗宝石呢?生：这是求“1+2+3+…+49”奇数个项的和的问题，我们刚才的方法就不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师：嗯.“首尾配对”的算法分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们有没有简单的方法来解决这个问题呢?生：有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为50个，共49行.则三角形中的宝石个数就是1+2+3+…+49.师：妙!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我们将他的几何法写成1+2+3+…+4949+48+47+…+1对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)nnan求等差数列的前项的和S?生1：对于问题(2)，我用倒序相加法求的，因为12321nnnnSaaaaaa12321nnnnSaaaaaa，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若mnpq，则mnpqaaaa所以.(Ⅰ)生2：对于问题(2)2)(1nnaanS11111()(2)(3)[(1)],naadadadand因为S11(1)[123(1)]2nnnnandnad所以S即1(1)2nnnSnad.(Ⅱ)【归纳小结】师：两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.两个公式是可以互相转化的，把代入公式（Ⅰ）中，便可以得到公式（Ⅱ）。而且我们可以发现，公式（Ⅰ）与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相似，这里的上底是等差数列的首项1a，下底是第n项na，高是项数n,有利于我们的记忆.【方法引导】师：如果已知等差数列的首项1a，项数为n，第n项为na，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项1a，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.生：每个公式中都是5个量.师：如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生：已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).三、知识应用【例1】(直接代公式)(1)1+3+5+…+(2n-1)(2)2+4+6+…+2n(3)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(2)，并请同学回答）生：(1)1+3+5+…+(2n-1)==n2；(2)2+4+6+…+2n==n(n+1).师：第(3)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生1：(3)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生2：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】（课本例1）2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【分析】让学生读题、审题并找出有用的信息。生：由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为1a，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.2)11(nn2)22(nn(1)1aandn师：这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.解：根据题意，从2010~2001年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{}na，表示从2001年起各年投入的资金，其中1500a，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为10101105005072502nS（）（万元）答：从2010~2001年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.【方法总结】师：本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：＂从2010~2001年，每年投入的经费都比上一年增加50万元＂.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列的知识解决．【例3】（课本例2）已知一个等差数列{}na前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【分析】等差数列前n项和公式就是一个关于dnaanan，，或，，11的方程．若要确定其前n项求和公式，则必须知道什么？生：必须要确定首项1a与公差d.师生：由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于1a和d的关系式，组成方程组便可从中求得.（方法一）解：由题意知10310S，201220S，将它们代入公式112nnnSnad（），得到．，122019020310451011dada解这个关于1a与d的方程组，得到1a=4，6d，所以214632nnnSnnn（）.（方法二）解：11010103102aaS得11062aa；①120202012202aaS所以120122aa；②②-①，得1060d，所以6d,代入①得：14a,所以有21132nnnSandnn（）.师：通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.四、课堂小测1、在等差数列}{na中，已知818481naa，，，其前n项和nS-88．2、在等差数列}{na中，已知32705141nada，．，．，其前n项和nS604.5．3、已知等差数列na中，512,11naa，1022nS，求公差d.解：由等差数列na的前n项和公式得10222)5121(2)(1naanSnn，解得4n，即5124a．又da)14(14＝512，所以d171．4、已知一个n项的等差数列的前四项和为21，末四项的和为67，前n项的和为286，求项数n．解：由题设得．，67213214321nnnnaaaaaaaa两式相加得883423121nnnnaaaaaaaa.又3423121nnnnaaaaaaaa，所以88)(41naa，即221naa．286112)(1naanSnn，所以26n．五、课堂小结师：同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生：①等差数列的前n项和公式1：,②等差数列的前n项和公式2：.2)(1nnaanS2)1(1dnnnaSn师：通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生：①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.六、布置作业课本习题2.3A组第1、2、3题.七、板书设计等差数列的前n项和(一)推导过程例1、例2、例3、2)1(2)(11dnnnaaanSnn