统计热力学基础

统计热力学基础§1概论统计热力学的研究方法统计热力学的基本任务统计系统的分类统计热力学的基本假定1875年，克劳修斯提出：气体分子均方速度、平均自由程和分子碰撞数等重要概念；1860年，麦克斯韦导出分子速度分布定律；1868年，玻尔兹曼将重力场引入分子速度分布定律，得到熵的统计意义，形成麦克斯韦-玻尔兹曼统计法，这是建立在经典力学基础上的，亦称经典统计；主要用于分子间无相互作用的体系——如低压气体，稀溶液的溶质等；20世纪初，诞生了量子力学，微观粒子的运动用波函数或量子态描述，开始形成量子统计法1900年，普朗克用经典统计法推导黑体辐射方程时，对谐振子的能量采用量子化处理获得成功；1905年，爱因斯坦提出光子学说，1924年，玻色将黑体视为光子气体重导普朗克的辐射方程也获得成功，在此基础上，爱因斯坦将其进一步推广发展成为玻色-爱因斯坦量子统计法1926年，费米发现，涉及到电子、质子和中子等的某些物质体系，不能应用玻色-爱因斯坦统计，其量子态受到泡利不相容原理制约，费米和狄拉克提出另一种量子统计法——费米-狄拉克统计。经典统计和量子统计都是根据概率论，以微观粒子为统计单位进行统计计算，两者的不同在于所选用的粒子运动（力学）模型不同。1902年，吉布斯创立了统计系综理论（对微观状态求加权平均），使统计力学的应用范围扩大，原则上可以应用于实际气体、流体混合物、液态、固态、电解质溶液、高分子体系、气-液和液-液的临界现象，以及超流和超导等领域。实际尚不能做到，关键是数学问题，难以得到联系宏观平衡性质和粒子微观特性的解析式。为得到解析式，现在发展的数学方法有：维里展开法，分布函数的积分方程法，微扰法，密度泛函法，重整化群法等，利用计算机的优势的蒙特卡罗法和分子动态学法（得到宏观性质的数值解）。统计热力学的研究方法物质的宏观性质本质上是微观粒子不停地运动的客观反应。虽然每个粒子都遵守力学定律，但是无法用力学中的微分方程去描述整个体系的运动状态，所以必须用统计学的方法。根据统计单位的力学性质（例如速度、动量、位置、振动、转动等），经过统计平均推求体系的热力学性质，将体系的微观性质与宏观性质联系起来，这就是统计热力学的研究方法。统计热力学的基本任务根据对物质结构的某些基本假定，以及实验所得的光谱数据，求得物质结构的一些基本常数，如核间距、键角、振动频率等，从而计算分子配分函数。再根据配分函数求出物质的热力学性质，这就是统计热力学的基本任务。统计热力学的基本任务该方法的局限性：计算时必须假定结构的模型，而人们对物质结构的认识也在不断深化，这势必引入一定的近似性。另外，对大的复杂分子以及凝聚体系，计算尚有困难。该方法的优点：将体系的微观性质与宏观性质联系起来，对于简单分子计算结果常是令人满意的。不需要进行复杂的低温量热实验，就能求得相当准确的熵值。统计体系的分类目前，统计主要有三种：一种是Maxwell-Boltzmann统计，通常称为Boltzmann统计。1900年Plonck提出了量子论，引入了能量量子化的概念，发展成为初期的量子统计。在这时期中，Boltzmann有很多贡献，开始是用经典的统计方法，而后来又有发展，加以改进，形成了目前的Boltzmann统计。统计体系的分类1924年以后有了量子力学，使统计力学中力学的基础发生改变，随之统计的方法也有改进，从而形成了Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计，分别适用于不同体系。但这两种统计在一定条件下通过适当的近似，可与Boltzmann统计得到相同结果。统计热力学的基本假定概率指某一件事或某一种状态出现的机会大小。热力学概率体系在一定的宏观状态下，可能出现的微观总数，通常用表示。统计热力学的基本假定等概率假定例如，某宏观体系的总微态数为，则每一种微观状态P出现的数学概率都相等，即：1P对于U,V和N确定的某一宏观体系，任何一个可能出现的微观状态，都有相同的数学概率，所以这假定又称为等概率原理。§2Boltzmann统计定位体系的微态数定位体系的最概然分布简并度有简并度时定位体系的微态数非定位体系的最概然分布Boltzmann公式的其它形式熵和亥氏自由能的表示式定位体系的微态数一个由N个可区分的独立粒子组成的宏观体系，在量子化的能级上可以有多种不同的分配方式。设其中的一种分配方式为：1212iiNNN能级：，，，一种分配方式：，，，定位体系的微态数这种分配的微态数为：12!!(!1)!!iiNNNNN121NNiNNNCC111212!()!!()!!()!NNNNNNNNNN分配方式有很多,总的微态数为：!!(2)iiiiiNN无论哪种分配都必须满足如下两个条件：(3)(4)iiiiiNNNU定位体系的最概然分布每种分配的值各不相同，但其中有一项最大值，在粒子数足够多的宏观体系中，可以近似用来代表所有的微观数，这就是最概然分布。maxmaxi,!iiiiiiiiiNNNNUN求极值，使问题在于如何在两个限制条件下，找出一种合适的分布，才能使有极大值，在数学上就是求(1)式的条件极值的问题。即：iN定位体系最概然分布首先用Stiring公式将阶乘展开，再用Lagrange乘因子法，求得最概然的分布为：式中和是Lagrange乘因子法中引进的待定因子。iiNelnlniiNe或用数学方法可求得：iiNee1-kT/*/iikTikTieNNemax*!iiN!N所以最概然分布公式为：简并度能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。量子力学中把能级可能有的微观状态数称为该能级的简并度，用符号表示。简并度亦称为退化度或统计权重。ig简并度例如，气体分子平动能的公式为：2222xyz3/2()8ihnnnmV式中分别是在轴方向的平动量子数，当则只有一种可能的状态，则，是非简并的.xyz,nnn和zyx和,23/238ihmVxyz1,1,1,nnn1ig简并度xyznnn这时，在相同的情况下，有三种不同的微观状态，则。i3ig23/268ihmV当211121112有简并度时定位体系的微态数121212,,,,,,,,,iiigggNNN能级各能级简并度一种分配方式设有N个粒子的某定位体系的一种分布为：有简并度时定位体系的微态数11NNC先从N个分子中选出N1个粒子放在能极上，有种取法；但能极上有个不同状态，每个分子在能极上都有种放法，所以共有种放法；11g11g11Ng这样将N1个粒子放在能极上，共有种微态数。依次类推，这种分配方式的微态数为：111NNNCg1有简并度时定位体系的微态数11221112()()NNNNNNNgCgC121121212()!!!()!!()!NNNNNggNNNNNNN121212i!!!!NNNggNNN!!iNiiigNN例有七个独立的可区别的粒子，分布在简并度为1，3和2的1,2和3三个能级中，数目分别为3,3,1，问这种分布拥有多少微观状态？iinixngNi!!7560!12!33!31!7133解：根据题意N=71,2,3gi1,3,2;ni3,3,1;将相应数据代入下列公式：有简并度时定位体系的微态数(,,)!!iNiiiigUVNNN由于分配方式很多，所以在U、V、N一定的条件下，所有的总微态数为：iiiiiNNNU求和的限制条件仍为：有简并度时定位体系的微态数/*/iikTiikTiigeNNge与不考虑简并度时的最概然分布公式相比，只多了项。ig再采用最概然分布概念，，用Stiring公式和Lagrange乘因子法求条件极值，得到微态数为极大值时的分布方式为：imax*iN非定位体系的最概然分布1(,,!!!)iNiiiigUVNNNN非定位体系由于粒子不能区分，它在能级上分布的微态数一定少于定位体系，所以对定位体系微态数的计算式进行等同粒子的修正，即将计算公式除以。!N则非定位体系在U、V、N一定的条件下，所有的总微态数为：非定位体系的最概然分布/*/iikTiikTiigeNNge（非定位）同样采用最概然分布的概念，用Stiring公式和Lagrange乘因子法求条件极值，得到微态数为极大值时的分布方式（非定位）为：*iN由此可见，定位体系与非定位体系，最概然的分布公式是相同的。Boltzmann公式的其它形式（1）将i能级和j能级上粒子数进行比较，用最概然分布公式相比，消去相同项，得：/**/ijkTiikTjjNgeNgeBoltzmann公式的其它形式（2）在经典力学中不考虑简并度，则上式成为*/*/exp()ijkTijikTjNekTNe设最低能级为，在能级上的粒子数为，略去标号，则上式可写作：00,ii00N*/0ikTiNNe这公式使用方便，例如讨论压力在重力场中的分布，设各个高度温度相同，即得：/0emghkTpp熵和亥氏自由能的表达式根据揭示熵本质的Boltzmann公式maxlnlnSkk（1）对于定位体系，非简并状态max*!!iiNNmaxlnln!ln!iiNN熵和亥氏自由能的表达式***lnln()iiiiiNNNNNN**ln()()iiiiiNNNNe**ln(,)iiiiiNNNUNNNU/1ln(lnln,)iikTiiUNeNekTkT用Stiring公式展开：***maxlnlnlniiiiiNNNNNN熵和亥氏自由能的表达式/maxlnlnikTUSkkNeT（定位）/lnikTiAUTSNkTe（定位）/maxlnlnikTiUNekT熵和亥氏自由能的表达式max!!iNiiigNN（2）对于定位体系，简并度为ig推导方法与前类似，得到的结果中，只比（1）的结果多了项。ig/lnikTiiUSkNgeT（定位）/lnikTiiANkTge（定位）熵和亥氏自由能的表达式/ln[]!ikTNiigeUSkNT（）（非定位）/()ln[]!ikTNiigeAkTN（非定位）（3）对于非定位体系由于粒子不能区分，需要进行等同性的修正，在相应的定位体系的公式上除以，即：!N配分函数的定义根据Boltzmann最概然分布公式（略去标号）*//iikTiikTiigeNNge令分母的求和项为：/ikTiigeqq称为分子配分函数，或配分函数（partitionfunction)，其单位为1。求和项中称为Boltzmann因子。配分函数q是对体系中一个粒子的所有可能状态的Boltzmann因子求和，因此q又称为状态和。i/kTe§4配分函数将q代入最概然分布公式，得：q中的任何一项与q之比，等于分配在该能级上粒子的分数，q中任两项之比等于这两个能级上最概然分布的粒子数之比，这正是q被称为配分函数的由来。//ijkTiikTjjNgeNge/ikTiiNgeNq§4配分函数配分函数的分离一个分子的能量可以认为是由分子的整体运动能量即平动能，以及分子内部运动的能量之和。分子内部的能量包括转动能()、振动能()、电子的能量()和核运动能量()，各能量可看作独立无关。rventrven这几个能级的大小次序是：配分函数的分离-1-1rv42420Jmol4.242kJmol