中考数学压轴题真题分类汇编三角形

2013年中考数学压轴题真题分类汇编：三角形六、三角形1．（北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．2．（北京模拟）已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．（1）求证：PA＝PB；（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PBPC的值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．3．（北京模拟）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；图1ABCQM(P)图2ABCQPMMTNOMTNO备用图MTNO备用图（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求BGCG及ACDC的值．4．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．（1）当点F在射线CA上时①求证：PF＝PE．②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．5．（上海模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝45．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．ACBFPDGEACBPD备用图ADCBPQ图②EADCBPQ图①ADCBPQ图③GABCDEF图1ABCDEF图2ABCDEF图3G（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长；（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由．7．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°，连接EF．（1）求DEDF的值；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，请说明理由．8．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，CD＝3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E．（1）设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；（2）以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切？若能，求tan∠DPE的值；若不能，请说明理由；（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C，当∠ACE＝∠BCB′时，求AP的长．9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过ABCDEFABCCBADEFCBAD备用图CBAD备用图ADCB备用图ADCBPE点B作BD⊥CP，垂足为点D.（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC；（2）如图2，若BC＝2厘米，cotA＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是5厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．10．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝43．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求∠PE的长；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．11．（上海模拟）如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动点M和N分别在线段AB和AC边上．（1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．CAPBD\D\D图1CAPBD\D\D图2CAB备用图ABPCQEABCE备用图ABCE备用图AONCBM图1AONECBM图212．（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC和DE如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M．把三角板ABC固定不动，将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点Q（如图2）．（1）当0°＜α＜60°时，求AM·CN的值；（2）当0°＜α＜60°时，设AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围；（3）当BM＝2时，求两块三角板重叠部分的面积．13．（上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF＝60°．设AE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）△BDF能否成为等腰三角形？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．14．（上海模拟）如图，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和等边△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时APPB的值；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由．ABCDEFM图1ABCDEFM图2NABC备用图AFBCDEDACBPEDACBPE备用图15．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是AC边的中点，E是BC边上一动点（不与端点重合），EF∥BD交AC于F，交AB延长线于G，H是BC延长线上的点，且CH＝BE，连接FH．设BE＝x，CF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）连接AE，当以GE为半径的⊙G和以FH为半径的⊙F相切时，求tan∠BAE的值；（3）当△BEG与△FCH相似时，求BE的长．16．（上海模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．（1）当∠CMF＝120°时，求BM的长；（2）设BM＝x，y＝△CMF的周长△ANF的周长，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．17．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，cosB＝35，点D在射线AB上，DE∥BC交射线AC于点E，点F在AE的延长线上，且EF＝14AE，以DE、EF为邻边作□DEFG，连接BG．ABCDEFGHABCD备用图ABCD备用图DACBNOFMB1（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；（2）设AD＝x，□DEFG与△ABC重合部分的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；（3）当△DBG是等腰三角形时，求AD的长．18．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos∠BAC＝13，点O在AB上，且CA＝CO＝6．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，且C′落在CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点D，（1）求证：△COA∽△BOD（2）求BD的长．19．（安徽）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．20．（浙江金华、丽水）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝35．如图，把△ABC的一DABCGFE图1DABCGFE图2ABDECGFABC备用图ABOB′DCC′边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝10334，AC与y轴交于点E．（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（浙江义乌）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1、CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点D为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段DP1长度的最大值与最小值．22．（浙江模拟）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．（1）用含x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；（1）设BP＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．ABCP1DC1A1P图3ABCC1A1图2ABCC1A1图1xOyABCGEFxOyABCEF备用图CADFBEGP23．（江苏淮安）阅读理解如图1，△ABC