排列的综合应用(习题课)

第一章计数原理第2课时排列的综合应用(习题课)第一章计数原理1.掌握几种有限制条件的排列问题．2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理探究点1无限制条件的排列问题(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理【解】(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A34＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理[变条件]若将本例(2)中的“有5本不同的书”改为“有5种不同的书”，则有多少种不同的送法？解：由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理求解有关排列的实际应用问题的步骤第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序，也即看当选出的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A．2160种B．240种C．720种D．120种解析：选C.有A310＝720种不同的分法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理2．从100个两两互质的数中取出两个，其商的个数为________．解析：从100个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A2100.答案：A2100(或9900)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理【解】(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理(2018·广东珠海第三中学高二下学期期中)5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18B．24C．36D．48解析：选C.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理探究点3元素“在”与“不在”问题六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．【解】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A14·A55＝480种．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A25·A44＝480种．法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480种．(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理(3)法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理“在”与“不在”问题的解决方法栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理1.(2018·山西朔州怀仁一中高二下学期期中)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在两端，不同的排法共有()A．2400种B．3600种C．4800种D．7200种栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理解析：选A.可分两步：第一步，排两端，从5名志愿者中选2名全排有A25＝20(种)排法；第二步，剩余3名志愿者与2位老人全排列有A55＝120(种)排法．根据分步乘法计数原理，共有20×120＝2400(种)排法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理2．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数．解：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个)．法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理法三：(排除法)①从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0，2，4在个位上的排列数为3A55，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．②从局部上排除：1在个位上的排列有A55个，其中0在十万位上的排列有A44个，故1在个位上的六位奇数有(A55－A44)个，同理，3，5在个位上的六位奇数也各有(A55－A44)个，因此符合题意的六位奇数共有3(A55－A44)＝288(个)．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理(2)法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个)．法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个)．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．224C．360D．648解析：选B.先排个位数，有A14种，然后排十位和百位，有A28种，故共有A14A28＝224个没有重复数字的三位偶数．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理2．(2018·四川达州周测)已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种解析：选C.先排甲，有4种；剩余5人全排列有A55＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理3．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．解析：第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A56种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86400种．答案：86400栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理4．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能站中间或两端；(2)全体站成一排，男生必须排在一起．解：(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A13种方法，再考虑其余6人的位置，有A66种方法．故有A13·A66＝2160种方法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A33·A55＝720种不同的排法．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理知识结构栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理深化拓展1.解排列应用题的基本思想实际问题――→化归（建模）排列问题――――→求数学模型的解求排列数――――――→得实际问题的解实际问题栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理深化拓展2．解有限制条件的排列问题的基本思路限制条件解题策略特殊元素通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升第一章计数原理本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放