等比数列前n项和公式

复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa⑴×q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa⑵⑴－⑵，得,111nnqaaSq由此得q≠1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,,,,,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法当q≠1时，qqaSnn111,111qaqqaqannn∵∴qqaaSnn11显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：证法一：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1……①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn……②①-②得Sn-qSn=a1-a1qnqqasnn111证法二：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+q(Sn-an)qqaasnn11证法三：qaaaaaann12312qaaaaaann12132qaSaSnnn1qqaasnn11例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)台21.15000……第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000,1.1%)101(,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001.11)1.11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02.06.1lg1.1lgn用计算器算得台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005(1)等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导.n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售10%10102aqnsn、求,126,128,66)1(3121nnnaaaaa中，在等比数列、,14,n)2(nnnssa若项和为的前设等比数列nnss32,126求?n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列xqa,11解：由已知条件得，nSxxnn11所以)1()1(xxxxxxnnnS111)1(1时，当1xnnaSn1时，当1x?n,,4,3,2,1132nnsnxxxx项和的前变式：求数列?10%10102台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售a总量组成等比数列。起，每年家电厂的销售解：由题意得，从今年101.1%1011.1%)101(1nqaaa，，)11.1(1.1101.11)1.11(1.11010aSa所以.)11.1(1.11010万台量是年内该家电厂的销售总答：从今年起a,128,66)1(3121nnnaaaaa中，在等比数列、qnsn、求,1261286612866111121nnnnaaaaaaaa即解：的两根是方程012866,21xxaan26464211nnaaaa或解得：1,1qaan126,64,2111qqaannnsaa则若①2,1261642qqq即即6,2264,111nqaannn又②6,,2,64211nqaan则同理可得若2,6,21或综上所述qn,14,n)2(nnnssa若项和为的前设等比数列nnss32,126求1262,14,1121nasnasqnn则解：若矛盾1q1261141212111nqannqanqsqs①②891nnqq两式相比得：211qa得：①代入10228121133131311nqanqanqqs