数学分析第十八章隐函数定理及其应用

第18章隐函数定理及其应用§1隐函数一、隐函数概念.).sinsin(sin,1,22显函数这种形式的函数称为如式是自变量的某个算式若函数的因变量的表达zxyzxyeuyxzxyz.J,I)1((1),x,Jy,Ix,YJXI)1(,0)y,x(F.RYX:F,RY,RX隐函数的值域含于上确定一个定义在则称由方程满足方程一起它与唯一的使得与若存在集合对于方程函数一个方程确定。设的对应关系由数，其自变量与因变量不少情况下有另一种函.,0))(,(,,),(IxxfxFJyIxxfy则成立恒等式若把它记作下面看隐函数的例子.).,1()1,(0),(.,1.01),(1111xxFyyxyxyyxFxx,1从而即一个通过方程对应唯一二元方程例.0111的单值交线与平面是空间曲面平面曲线几何意义zyxyzyx:.0)1,(),(0)1,(),(,11,)1,1(,00.)1,1(.01),(2221222122xxFyxFxxFyxFxyxyyxyyyxyxyxF2或也就是或即对唯一一个则或若限定两个通过方程对应二元方程例.0)(,),(),(),(),(022),(xxFxyyxxyyxFyx3即即后面证明通过方程对应唯一一个内，在原点某邻域二元方程例).(),(022xyxzxyzyx相交成平面单值曲线时在与平面空间曲面几何意义:.,的取值范围后才有意义它的方程以及隐函数必须在指出确定yx.0sin21,022yxycyx又如方程..)(.)(微性但要研究其连续性和可函数隐函数一般不能化成显确定隐函数要研究什么条件下才能iii二、隐函数存在性条件的分析.0),()1(的交集与的点集可看作满足方程zyxFz0.),(),(00000.,)1(.1yxFyxP使得则交集非空能确定隐函数若方程.0),(0),(((,.200000相交成平面曲线与在点从而相交于直线的切平面与在点则且可微在点若zPyxFzlzPyxFzPFPFPFyx.(0,0),))),(.((,0((,)(000000))dddd))PFPFxyxyPFPFxfyyxxxxxyx则由链式法则可微若要求三、隐函数定理.0),();,(;:00002000yxFyxFDyxFRDyxPFyy(iv)(iii));0(),((ii)),((i)内存在连续的偏导数在初始条件上连续为内点的某一区域在以函数若满足下列条件隐函数存在唯一性定理)(18.1定理.),)(;0))(,()())(,(),,)(),()(),0),()(00000000000内连续在）且时当）使得函数隐内的定义在某区间唯一地确定内，方程的某邻域则在点xxxfxfxFPUxfxxxxyxfxfyxxyxFDPUP(2,(1(.],[),(],,[.0),(,],[],[,.0),(,.0000000000且连续上严格增在关于故使其上每点局部保号由不妨由）存在唯一性证：yyyyxFxxxyxFDyyxxFyxFyyy(iii),(iv)1A−−−−−−−BA’+++++++B’P0.0),(,0),(,),((,,],[),(),(.0),(,0),(000000000000yxFyxFxxxxxyxFyxFyxFyxF],0,(i),(ii),时使当性由连续函数的局部保号上连续在和由由).()(),(0),(.0),(),(),,(,,0,0000000xfyxxyxFyxFyyyxxxFBAFABABAB函数隐内的间唯一地确定了定义在区即方程使唯一因此上边上的如图，在矩形A−−−−−−−BA’+++++++B’P0.0))(,()())(,(,),(,)(),,(),()(0000000000xfxFPUxfxxxxyxfyyxxPU且时当则令).(),)(00略内连续在）xxxf(2.0)(,),(0,022),(xxFxyxxyyxFyx满足内确定唯一一个隐函数的某邻域在验证二元方程：练习.0)(,),(0xxFxyx满足确定唯一一个隐函数的某邻域内定理的条件，所以，在满足隐函数存在唯一性.02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(yyyyxFxyxFFxyyxF）的邻域内连续，在），）的邻域内连续，在）因为，解：43021(iv).(iii),-i),18.1但不满足处满足在点例如的条件仅仅是充分条件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx,yFxyx,yF注意.(iv),iii)18.1严格单调的某邻域内关于在可减弱为和的条件定理yPF0(.2).(,0),(,),((.300ygxyxFyxFxx函数结论是存在唯一的连续连续改为和的条件定理(iv)iii)18.1.),(),()(),()()1(),,((iv),-(i)18.1),()(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx导函数，且内有连续在其定义域所确定的隐函数则由方程内存在连续偏导数又设在条件的满足定理设函数隐函数可微性定理8.21定理.0),())(,(),,()(),(),,(,0000yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且则设证：,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx0故,),(),(yyxxFyyxxFxyyx.),),(),(lim)(000内连续且在xxyxFyxFxyxfyxx(例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数0dd,0dd22xxyxxy解:令,1sin),(yxeyyxFx则并求,F,0)0,0(F,yeFxx连续,由定理可知,1)0,0(yF0导的隐函数xyFycos在x=0的某邻域内方程存在单值可且0ddxxy0xFFyxxycosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy0xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyx两边对x求导两边再对x求导yyyycos)(sin2令x=0,注意此时1,0yy)0,0(cosxyyex导数的另一求法—利用隐函数求导).(),(0,022),(xxyxxyyxFyx并求连续导数的隐函数邻域内确定唯一一个有的某在验证二元方程：练习.2ln22ln2)(yxxyx答：.注：导数有两种求法连续可微性定理元隐函数的存在唯一与并有下列元隐函数的概念所确定的类似地理解由方程nnyxxFn.0),,,(1.,,,,,)(),,(2),,,(,)),,(,,,(),()),,(,,,(,)(),,(1),,,(),()(),,(),,,()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn111010010110110110001010000而且内有连续偏导数在）且时）当使得隐函数元连续函数内的的某邻域一个定义在唯一地确定了内，方程的某邻域则在点,),,,((iv),,,,(iii),),,,((ii),),,,(),,,((i):000001000110001011yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn内存在且连续在偏导数上连续为内点的区域在以若满足下列条件18.3定理例2.设,04222zzyx解法1利用隐函数求导0422xzxzzxzxxz220422xz2)(1xz.22xz求再对x求导解法2利用公式设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz两边对x求偏导)2(22zxxxz322)2()2(zxz2zxzx242zFz.求法注：隐函数高阶导数的作业：P151,1,2,3(2)(5),5.四、隐函数问题举例(自练).0sin21),(确定的隐函数及其导数讨论yxyyxF例1.0333和二阶导数所确定的隐函数的一阶讨论笛卡儿叶形线axyyx例2.0),,(323元隐函数及其偏导数在原点附近所确定的二讨论zyxxyzzyxF例3.,)(,)(000其导数讨论反函数的存在性与且的某邻域内连续在设函数yxfxxfy例4§2隐函数组一、隐函数组概念.)1(.,)1()1(,0),,,(,0),,,(,,,),,(.),,,(),,,(24隐函数组所确定的组称这两个函数为由方程内的函数和值域分别落在上确定两个定义在则说方程组一起满足方程组它们与上唯一的一对值和分别有区间中每一点对于若存在平面区域函数上的两个四元为定义在区域和设,KJRDvuyxGvuyxFyxKvJuKJyxDDRVvuyxGvuyxF.0)),(),,(,,(,0)),(),,(,,(),,(),,(yxgyxfyxGyxgyxfyxFDyxgvyxfu上成立恒等式则在若分别记为二、隐函数组定理)2(,0,0,)1(,xvxuxxvxuxvGuGGvFuFFvuGF则也可微与所确定的两个隐函数由方程组可微和假设)3(,0,0yvyuyyvyuyvGuGGvFuFF)4()2(,)2(0.vuvuyyxxGGFFvuvu的充分条件是与解出从与解出从.JvuvuGGFFvuGF),(),(,)4(记为左边为称雅可比行列式.),(),(1vxGFJGGFFGGFFuvuvuvxvxx.0)(),(),(yvuvuFGGFFvuGFiv18.10中的条件相当于定理这里.0),(),(;,;),,,(),,,(:000000000400000PvuGFJGFVvuyxGvuyxFRVvuyxPvuyxGvuyxF(iv)(iii));0(),,,(0,),,,((ii)),,,((i)具有一阶连续偏导数内在初始条件内连续为内点的区域在以和若满足下列条件隐函数组定理)(18.4定理;)(),(),,()2,0)),(),,(,,(,0)),(),,(,,(),(~)),(),,(,,()(),()1,)()(~000000000000000内连续在时且当使得内的两个二元隐函数的邻域在唯一地确定了定义内，方程组的某邻域则在点QUyxgyxfyxgyxfyxGyxgyxfyxFPVyxgyxfyxQUyxyxgvyxfuQUyxQVPVP),,(),,(),((1))5(.),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1,)()),(),,()30yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuQUyxgyxf且内有一阶连续偏导数在.(1)(iv)其他情形均可类似