《等差数列》的教学设计

1《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。2四．教学目标1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。五．重点、难点教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。六．教学策略和手段数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。七．课前准备学生预习，教师做好课件并安装好。八．教学过程（一）创设情景，引入概念设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。师生活动：情景1：师—把班上学生学号从小到大排成一列：3学生：52,51,,4,3,2,1师—这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？学生—是，Nnnnan,521,师—把上面的数列各项依次记为5221,,,,aaaa，填空：51522312,,,aaaaaa学生—填空并归纳出一般规律：11nnaa，（2n）师—上面这个规律还有其他形式吗？学生—或者写成11nnaa，（2n）注：要对强调2n，原因在于1n有意义。师—你能用普通语言概括上面的规律吗？学生—自由发言，选择最恰当的语言。上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）18，15.5，13，10．5，8，5．5（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率存期）4例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）各年末本利和（单位：元）10072，10144，10216，10288，10360师：上面的三个数列又分别有什么规律呢？学生—（1）51nnaa，2n，Nn（2）5.21nnaa，2n，Nn（3）721nnaa，2n，Nn师—归纳上面数列的共同特征：1nnaad（d是常数），2n，Nn，师—满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？学生（共同）—等差数列。提出课题《等差数列》师—给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。*2132431,,,......(2,)nnaadaadaadaadnnN对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？学生—某剧场前8排的座位数分别是52，50，48，46，44，42，40，38.学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25抢答：观察下列数列是否为等差数列1，2，4，6，8，10，12，……时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年100001036050，1，2，3，4，5，6，……3，3，3，3，3，3，3……2，4，7，11，16，……-8，-6，-4，0，2，4，……3，0，-3，-6，-9，……注：常数列也是等差数列，公差是0。（二）推进概念，发现性质设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。师生活动：师—想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。设三个数bAa,,成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A,22baAbaA说明：（1）上面式子反过来也成立。（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列Nnnaaannn,2,211，反之亦成立。（三）探究通项公式设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。师生活动：师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。师—若一个数列123,,,......,,......naaaa是等差数列，它的公差是d，那么数列na的通项公式是什么？启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。6学生—daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3134……由此可得：dnaan)1(1师—从第几项开始归纳的？学生—第二项，所以n≥2。师—n=1时呢？学生—当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式dnaan)1(1（Nn）师—很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？学生—还可用下面的方法归纳：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式dnaan)1(1（Nn）师—我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗？（学生面露难色）启发：看方法一的第一个式子daa12daa23daa34……1nnaad有何规律？学生—可以用累加的方法，左边累加后得1naa，右边累加的d+d+d+……+d共122331223......(1)nnnnnnaadaddadaddadand7n-1个即1naa=d+d+d+…….+d1naa=（n-1）ddnaan)1(1师—这种方法叫累加法总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。注：通项公式中含有1,,,nadna四个量，其中1,ad为基本量，当1,ad确定后，通项公式就确定了。(四).通项公式的应用设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力。例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？（3）已知等差数列na中，35,20205aa，求该数列的通项公式。分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？——首项和公差（2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？——先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401=na成立。（3）中已知两项，求通项公式的关键还是先求首项和公差。这里可以通过列方程组求解。答案：(1)4920a；(2)-401是这个数列的第100项；(3)nan15。(3)的补充说明：由列两个等式daadaa19,412015可知daa15520，你能类似的推出等差数列中任两项的关系吗？类比：dmaam)1(1dnaan)1(1两式相减得nmaaddnmaanmnm)(—等差数列的性质。8例2、已知数列的通项公式为qpnan，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？师—如何分析题意？学生—由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。（学生叙述，教师板书）解：取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）。∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p，它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差为p。在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。师—数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）学生—与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。师—本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。由上面例题实际上可以得出证明数列{an}是等差数列的一种方法。（五）通项公式的图象设计意图：加深学生对等差数列与一次函数的联系的理解。在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-551015209该数列的图象是一群孤立的点。且都落在直线53xy的图象上。师—由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。学生—公差不为零的等差数列qpnan的图象是直线y=px+q上的