三角恒等变换教案

1三角恒等变换教案适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域全国通用课时时长（分钟）60知识点两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式教学目标理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式，体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点1.二倍角公式的推导。2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.23教学过程一、课堂导入思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.4二、复习预习复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。sin)2sin(k，cos)2cos(k，tan)2tan(k（公式一）sin()sinpaa+=-，cos()cospaa+=-，tan()tanpaa+=（公式二）sin()sinaa-=-，cos()cosaa-=，tan()tanaa-=-（公式三）sinsin(），-coscos(），tantan(）（公式四）sin()cos2paa-=（公式五）sin()cos2paa+=（公式六）cos()sin2paa-=cos()sin2paa+=-5三、知识讲解考点1两角和的正弦、余弦、正切公式⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．6考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1⑵2222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin2．⑶22tantan21tan．2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222αααααα万能公式7考点3辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan．8四、例题精析考点一两角和的正弦、余弦、正切公式例1已知α(4，43)，β(0，4),cos(α－4)＝53，sin(43＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．910【规范解答】∵α－4＋43＋β＝α＋β＋2，α∈(43,4)β∈(0,1sin311x)∴α－4∈(0,2)β＋43∈(43,π)∴sin(α－4)＝54cos(43)＝－1312∴sin(α＋β)＝－cos[2＋(α＋β)]＝－cos[(α－4)＋(43)]＝6556【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。11例2计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()．A．－22B.22C.32D．112【规范解答】原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。13考点二二倍角公式的应用例3化简42212cos2cos22tan()sin()44xxxx14【规范解答】切化弦，合理使用倍角公式．原式＝22212sincos22sin()cos()44cos()4xxxxx＝21(1sin2)22sin()cos()44xxx＝21cos22sin(2)2xx＝12cos2x.【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．15例4化简：sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α.16【规范解答】原式＝2sinα2cosα2－2sin2α22sinα2cosα2＋2sin2α24sinα2cosα2cosα＝cosα2－sinα2cosα2＋sinα2sinα2cosα2cosα＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2cosα＝tanα2.【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．17考点三辅助角公式的应用例5已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.(1)求()3f的值；2)求f(x)的最大值和最小值．18【规范解答】先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解．(1)()3f＝2cos2π3＋sin2π3＝－1＋34＝－14.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.∵cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.【总结与反思】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．1920课程小结1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.213.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.