第六章-《反比例函数》各节知识点及典型例题

1第六章《反比例函数》各节知识点及典型例题第1节反比例函数第二节反比例函数的图象和性质第三节反比例函数的应用五大知识点：1、反比例函数的定义和表达式2、反比例函数的图象和性质3、反比例函数的应用【课本相关知识点】1、一般地，形如的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k叫做反比例系数。自变量x的取值范围是★★2、反比例函数有三种表达形式：（1）y=kx（k≠0）；（2）y=kx-1（k≠0）；（3）xy=k（k≠0）3、判断具体情景中的两个变量是否成反比例函数关系，关键看这两个变量的积是否为一个的常数。4、根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式时，一般采用法。5、要确定一个反比例函数y=kx的表达式，只需求出，若已知一对的对应值，就可以由此求出比例系数，然后写出所求的反比例函数。【典型例题】【题型一】判断一个函数是不是反比例函数例1、下列函数表达式中，y是关于x的反比例函数的有（）①y=15x；②y=21x；③y=3x；④y=13x；⑤y=21x；⑥y=23x；⑦y=32x；⑧-2xy=1A．2个B．3个C．4个D．5个补充一下：对于是反比例函数的，写出其反比例系数例2、关于函数y=12x，以下说法正确的是（）A．y是x的反比例函数B．y是x的正比例函数C．y是x-2的反比例函数D．以上都不对【题型二】求反比例函数表达式例1、已知y=y1－y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=﹣1时，y=﹣5；当x=1时，y=1，求y与x之间的函数表达式。例2、已知一面积为20的梯形，其上、下底长度之比为1：3，试写出梯形的高线h和上底长a之间的函数表达式，并说明你所写的函数是什么函数。例3、（2013安顺）若y=(a+1)22ax是反比例函数，则a的值是，该反比例函数为例4、如图，点P（3a，a）是反比例函y＝kx（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为()A．y＝3xB．y＝5xC．y＝10xD．y＝12x2【题型三】应用反比例函数解决实际生活问题例1、近视眼镜的镜片度数（y度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知﹣400度近视眼镜镜片的焦距为﹣0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为例2、某地去年电价0.8元/千瓦时，年用量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿千瓦时与（x-0.4）元成反比例，且当x=0.65，y=0.8（1）求y与x之间的函数解析式（2）若每千瓦时电的成本价是0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？【收益=用电量×（实际电价-成本价）】例3、某地计划用120～180天（含120与180天）建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？【课本相关知识点】1、画反比例函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线2、图象特征：反比例函数y=kx（k≠0）的图象是由两个分支组成的。当k＞0时，图象在象限；当k＜0时，图象在象限3、反比例函数y=kx（k≠0）的图象关于直角坐标系的成中心对称。（反比例函数图象的性质之一）4、反比例函数的几何意义：过反比例函数上任意一点作x轴和y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积相等，均为|k|【典型例题】【题型一】反比例函数的图象例1、（2013邵阳）下列四个点中，在反比例函数y=6x的图象上的是（）A．（3，-2）B．（3，2）C．（2，3）D．（-2，-3）例2、反比例函数y=1kx的图象经过点（﹣2，3），则该图象经过象限例3、已知函数25(1)mymx是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．2C．2D．12例4、反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）A．1B．2C．3D．4例43oyxyxoyxoyxoABCD例5、如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此观察可得k1，k2，k3大小关系为【题型二】反比例函数图象的画法例1、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（）例2、水池内装有12m3的水，如果从排水管中每小时流出xm3，则经过y小时就可以把水放完。（1）求y与x的函数关系（2）画出函数的图象（列表、描点、连线）（3）当x=6m3时，求时间y的值【题型三】反比例函数中比例系数k的几何意义例1、（山西中考）如图所示，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的表达式为例2、如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数kyx的图象过点A，则k=（）A．3B．5.1C．3D．6例3、如图,直线l和双曲线(0)kykx交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（）A.S1＜S2＜S3B.S1S2S3C.S1=S2S3D.S1=S2S3例5例1例2例34例4、如图，点A在双曲线1yx上，点B在双曲线3yx上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为.【题型四】一次函数和反比例函数的图象共存题（选择题）例1、函数yaxa与ayx（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）【题型五】一次函数和反比例函数的综合题例1、一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点，连接OA、OB（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式（2）求△AOB的面积例2、（2013•烟台）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．例3、如图，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。5例4、如图，已知直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为双曲线y=kx（k＞0）上一点，且在第一象限内。若△AOC的面积为6，求点C的坐标例5、如图，已知直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4。（1）求k的值；（2）若双曲线y=kx（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线a交双曲线y=kx（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。【课本相关知识点】1、一般地，反比例函数y=kx（k≠0）还有以下性质：当k＞0时，图象位于一、三象限；在图象所在的每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小当k＜0时，图象位于二、四象限；在图象所在的每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大2、双曲线的两个分支都是无限接近于坐标轴，但与坐标轴永远不会相交（拓展一下）3、其实反比例函数也是轴对称图形，它有两条对称轴。【题型一】反比例函数的增减性例1、已知点（－1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数21kyx的图像上，下列结论中正确的是()A．321yyyB．231yyyC．213yyyD．132yyy例2、在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210xxx则下列各式正确的是（）A．213yyyB．123yyyC．321yyyD．231yyy6例3、已知（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）是反比例函数xy4的图象上的三个点,且x1＜x2＜0，x3＞0,则y1，y2，y3的大小关系是()A.y3＜y1＜y2B.y2＜y1＜y3C.y1＜y2＜y3D.y3＜y2＜y1例4、设点11,yxA和22,yxB是反比例函数xky图象上的两个点，当1x＜2x＜0时，1y＜2y，则一次函数kxy2的图象不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【题型二】关于反比例函数中求取值范围或解的题目★★★例1、已知函数y＝1x的图象如图所示，当x≥－1时，y的取值范围是（）A．y＜－1B．y≤－1C．y≤－1或y＞0D．y＜－1或y≥0例2、图所示，反比例函数1y与正比例函数2y的图象的一个交点是(21)A，，若210yy，则x的取值范围在数轴上表示为（）例3、如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是（）（A）-1＜x＜0（B）-1＜x＜1（C）x＜-1或0＜x＜1（D）-1＜x＜0或x＞1例4、如图，反比例函数xmy的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点M，N，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程xm=kx+b的解为（）A.－3,1B.－3,3C.－1,1D.3，-1例5、（2011浙江杭州，6，3）如图，函数11yx和函数22yx的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若12yy，则x的取值范围是（）A．102xx或B．12xx或C．1002xx或D．102xx或120（A）120(B)120(C)120(D)7例6、如图，直线y=x+2与双曲线y=xm3在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）★★★★★例7、如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k＜4例8、如图，已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）。（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。【课本相关知识点】1、在现实世界中，成反比例的量广泛存在着。用反比例函数的表达式和图象表示问题情境中成反比例的量之间的关系，能帮助我们分析和判断问题情景中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围，了解变量的变化规律。【典型例题】【题型一】反比例函数在日常生活中的应用例1、某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）写出这一函数的解析式．（2）当气体的体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于150KPa时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？8例2、近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO，在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降，如图所示，根据题中相关信