弹性体的形变势能;位移变分方程(林国昌)

第十一章能量原理与变分法林国昌[e-mail]2010-11哈尔滨工业大学2弹性力学的微分提法微分法：从微元入手，建立其基本微分方程。在给定边界条件下，求解偏微分方程问题（偏微分方程的边值问题）。平衡方程几何方程物理方程微元体微分法的解：解为精确解，完全满足微分方程。3弹性力学的变分法(能量法)变分法：考虑整个系统的能量关系(如形变势能，外力势能等)，建立泛函变分方程；在给定约束条件下求解泛函极值的变分问题。最后将问题归结为易于求解的线性方程组，从而获得问题的近似解答。变分法的解：解为近似解，近似满足微分方程。以整个系统为研究对象弹性力学中的变分法又称为能量法。4弹性力学的变分法(能量法)力学概念：形变势能外力势能数学概念：泛函变分§11-1弹性体的形变势能林国昌6泛函变分7泛函的提出约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）于1696年提出一个问题：最速降线问题。问题描述：时间集合T函数集合yT1y11T2y22TiyiiTnynn(a,b)设有两点A、B不在同意铅垂线上，在A、B两点间连接一条曲线，有一重物沿曲线从A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从A到B的自由下滑时间最短？函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。8函数与泛函函数：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实数f(x)与之对应。泛函：Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应。自变量因变量f(x1)f(x2)f(xi)f(xn)函数f(x)x1x2xixn实数实数y1y2yiyn函数自变量Π(y1)Π(y2)Π(yi)Π(yn)实数因变量泛函：就是以函数为自变量的一类函数。简单的讲，泛函就是函数的函数。对应法则f泛函Π(y)对应法则Π9泛函从点A到点B的总时间是•T是y(x)的泛函•满足y(0)=0，y(a)=b(a,b)最速降线问题：称时间T是函数y的泛函。求泛函的极值问题——变分。10变分变分命题的实质是求泛函的极值问题。•给定函数y(x)变量：x函数：y(x)变量的增量：Δx函数的增量：Δy＝y(x+Δx)-y(x)当两点无限接近：Δx→dx，Δy→dy略去高阶微量：dy＝y’(x)dx当在x处取得函数极值dy＝0•给定泛函Π(y)变量：y泛函：Π(y)函数的变分：δy泛函的变分：δΠ＝Π(y+δy)-Π(y)在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项。当在y处取得泛函极值δΠ＝0泛函Π(y)为极小值；20泛函Π(y)为极大值.2011变分与微分的比较微分─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移u，有dyyuxxuu.ddd由于微分和变分都是微量，所以它们的运算方式相同，如上面两式vvVuuVV变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如势能V12泛函变分的基本运算法则(1)、泛函变分运算与微分运算法则基本相同2121)(FFFF211221)(FFFFFF)(1)(21122221FFFFFFFFnFFnn1)(()dydydxdx(2)、和以及积分算子具有交换律：bbaaudxudxddx13141应变能密度假定：弹性体在受力过程中始终保持平衡，(1)没有动能的改变；(2)弹性体的非机械能(例如温度)也没有变化。则外力势能的减少(外力所作的功)=形变势能(应变能)的增加。形变势能的计算：形变势能可以用应力在其相应的应变上所做的功来计算。15xcvxoxxdxdxxxd1应变能密度设弹性体只在某一方向上，如x方向，受均匀的正应力作用，相应的线应变为，则每单位体积内具有形变势能表示为：x0xxxvdx(a)应变能密度是应变分量的泛函，因为自变函数为。xxdv当弹性体的应力-应变关系为线性时，即012xxxxxvd(c)应变能密度：每单位体积内具有形变势能。xx应变能密度为应力-应变曲线右下方分面积。162应变余能密度应力-应变曲线左上方的面积，称为应变余能密度。记为：0xcxxvd(b)xxdvxoxxd当弹性体的应力-应变关系为线性时，即012xcxxxxvd(d)xdxxcvxxd应变余能密度是应力分量的泛函，自变函数为。x表示的就是单位体积内的应变余能。cvx17说明012xxxxxvd(c)012xxcxxxvd(d)注意：(1)数值相等；(2)自变量不同。应变能密度：应变余能密度：xcvxoxxdxdxxxdxxdv当应力-应变曲线为线性时：183全部的应变能密度同理，弹性体只在某两个相互垂直的方向，如x、y受均匀的切应力作用，其相应的切应变为，则应变能密度为：(应力-应变线性关系)12xyxyvxyxy1()2xyzyzyzzxzxxyxxzyyv(e)疑问：一个应力分量会引起另一应力分量相应的形变分量(如)，似乎形变势能与弹性体的受力次序不同而不同。xy引起同理，如果弹性体同时受到作用，则全部的应变能密度可以写为：(,,,,,)xyzyzzxxy193全部的应变能密度形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力与形变的最终值。能量守恒定律：反证：按某一次序对弹性体加载，而按照另一次序卸载，在一个循环中使弹性体增加或减少一定的能量，这是不可能的。叠加原理：复杂应力状态可以分解为各个简单应力状态的组合，各个简单应力在对应的形变下所做的功之和，即为复杂应力状态下的应变能。(,,)xyzxyz204整个弹性系统的形变势能一般情况下，弹性体受力不均匀，应力分量和形变分量都是位置坐标的函数；应变能密度也是坐标的函数，整个弹性体的形变势能是把应变能密度在整个弹性体内的积分，即：Vvdxdydz1()2xxyyzzyzyzzxzxxyxyVdxdydz(f)(g)vVv形变势能是形变分量的泛函。V(,,,,,)xyzyzzxxyVV代入(e)式：215形变表示的弹性体形变势能22222221[()()]2(1)122xyzyzzxxyEVdxdydz利用物理方程(8-19)，形变势能可仅用形变分量表示。2(1)2(1)2(1)yzyzzxzxxyxyEEExyz()112()112()112xxyyzzEEE其中，(h)将(h)代入(g)式得：弹性体的形变势能表达式：(11-1)102其中，22表明：(1)不论形变如何，弹性体的形变势能总不会是负的，在所有的形变分量为0时，形变势能才为0。(2)形变势能是应变(或位移)的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移u1，再发生位移u2，则。5形变表示的弹性体形变势能1212()()()VuuVuVu(11-1)22222221[()()]2(1)122xyzyzzxxyEVdxdydz236格林公式在六个应力分量作用下，应变能密度仅用形变分量表示为：(i)对六个形变分量求导，得：,,,,xyzxyzyzzxxyyzzxxyvvvvvv(11-2)表明：(1)弹性体的应变能密度对任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。(2)应变能密度是弹性体材料本构关系的另一种表达形式。(11-2)式称为格林(Green,G.)公式。22222221[()()]2(1)122xyzyzzxxyEv(11-1)22222221[()()]2(1)122xyzyzzxxyEVdxdydz247位移表示的弹性体形变势能形变势能用位移分量表示，xyzuxvywz　　xyyzzxvuxywvyzuwzx(11-3)由空间问题几何方程代入(11-1)，弹性体的形变势能表达式为：2222222[()()()(2(1)12111()()()]222EuvwuvwVxyzxyzwuuwvudxdydzyzzxxy）(8-9)22222221[()()]2(1)122xyzyzzxxyEVdxdydz(11-1)258应变余能同理：整个弹性体的应变余能为：ccVvdxdydz（j）应变余能密度在应力-应变关系为线性时，同样可表示为1()2cxyzyzzxxyxyzyzzxxyv（k）注：应变余能是以应力分量为自变函数的泛函，因此应变余能可仅用应力分量来表示1[()]1[()]1[()]xxyzyyzxzzxyEEE　　　111xyxyyzyzzxzxGGG（l）由物理方程：代入(k)式，简化后得应变余能密度表达式：2221[()2()2(1)()]2cxyzyzzxxyyzzxxyvE（m）是否可能为负？cv269卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式对整个弹性体积分后得，整个弹性体的应变余能：222[()2()122(1)()]xyzyzzxxycyzzxxyVEdxdydz（11-4）(m)式对应力分量求导得：,,,,cccxyzxyzcccyzzxxyyzzxxyvvvvvv（11-5）表明：弹性体的应变余能密度对任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。称为卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式。2221[()2()2(1)()]2cxyzyzzxxyyzzxxyvE（m）2710小结形变势能的性质：①形变势能的大小与受力顺序无关。②当应变或位移发生时，形变势能总是正的，即③形变势能是位移或应变的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移u1，在发生位移u2，则④单位体积的形变势能(即应变能密度)对任一应变分量的导数等于相应的应力分量。1212()()()VuuVuVu0V§11.2位移变分方程林国昌哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所290实际平衡状态下的位移(1)、实际平衡状态下的位移设弹性体实际平衡状态下的位移为u、v、w,必须满足①用位移表示的平衡微分方程②用位移表示的应力边界条件③位移边界条件其中，和属于静力平衡条件，反映了载荷作用下各微元以及整个物体都处于平衡状态的要求；属于约束条件，是求解位移的必要条件，和是充分条件。前面各章在求解位移分量时，都直接致力于寻找同时满足以上三个条件的真实位移；本章则分两步处理：首先寻找满足位移边界条件的位移分量(可能有无数多个)，之后在这些位移分量中寻找满足以上所有条件的真实位移。301.虚位移F虚位移：在数学上称为位移变分，即表示约束条件允许下平衡状