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栏目导航网络建构专题归纳高考体验空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.名师导引:(1)根据所描述的几何体的结构特征及几何体的相关定义,判断其形状.(2)、(3)根据几何体的形成过程与几何体的结构特征判断其形状.解:(1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.(2)两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.空间几何体的三视图与直观图【例2】画出如图中几何体的三视图.解:该几何体的三视图如图所示.画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,明确几何体的摆放位置,一般先画正视图,再画俯视图,最后画侧视图.被遮住的轮廓线要画成虚线,务必做到长对正、高平齐,宽相等.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,对于简单组合体要注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.【例3】某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的结构特征.解:由正视图和侧视图可知,该物体的下半部分为柱体,上半部分为锥体,又因俯视图为一个正六边形,故该几何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的,如图所示.根据三视图想象空间几何体时,需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的几何特征,从而判断三视图所描述的几何体.空间几何体的体积和表面积【例4】(2012年高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.解析:该几何体是长方体中去掉一个圆柱而成.其表面积应为长方体的表面积去掉圆柱的两底面面积加上圆柱的侧面积.S表=S长方体-S圆柱底+S圆柱侧=2(1×4+1×3+3×4)-2×π×12+1×2π=38.答案:38【例5】一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).(1)试画出其直观图;(2)求该几何体的体积.名师导引:由几何体的三视图能确定几何体的特征吗?(能确定该几何体为四棱柱,且底面是高为1的直角梯形,棱柱的高为1)解:(1)由三视图知,该几何体是四棱柱,其底面是上底为1,下底为2,高为1的直角梯形,且棱柱的高为1,直观图如图所示.(2)四棱柱的底面积S=12×(1+2)×1=32(m2),体积为V=32×1=32(m3).由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定几何体的结构特征,再由三视图中的数据确定几何体中的相关数据,代入公式求解即可.球与其他几何体的组合问题【例6】轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积.名师导引:什么是旋转体的轴截面?(过旋转体的旋转轴的截面为轴截面)解:如图作出轴截面,∵△ABC是正三角形,∴CD=12AC.∵CD=1cm,∴AC=2cm,AD=3cm.∵Rt△AOE∽Rt△ACD,∴OEAO=CDAC.设OE=R,则AO=3-R,∴3RR=12,∴R=33(cm).∴V球=43π333=4327π(cm3).∴球的体积等于4327πcm3.处理与球有关的问题时常考虑其相应轴截面内的接、切情况,把空间图形平面化.1.(2013年高考辽宁卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(C)(A)3172(B)210(C)132(D)310解析:如图所示,由题得BC=5,BO2=52,OO2=6,则球O的半径R=22562=1694=132.故选C.2.(2012年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其体积为.解析:由几何体的三视图可知,原几何体是底面为半径是1的圆,高为2的圆锥体的一半,体积V=13·12π·12·2=13π.答案:π33.(2013年高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.解析:由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥,如图所示.三棱柱的底面为直角三角形,且直角边长分别为3和4,三棱柱的高为5,故其体积V1=12×3×4×5=30(cm3),小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同,高为3,故其体积V2=13×12×3×4×3=6(cm3),所以所求几何体的体积为30-6=24(cm3).答案:244.(2013年高考天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为.解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径R,正方体棱长为a,则43πR3=9π2,R=32,则23a=3,得a=3.答案:3点击进入检测试题