直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程

1直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程归纳整理：杜响1.斜率公式2121yykxx（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.2.直线的五种方程（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy(12xx)).(4)截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:lykxb，222:lykxb①121212||,llkkbb;②12121llkk.(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||ABCllABC；②1212120llAABB；4.夹角公式(1)2121tan||1kkkk.(111:lykxb，222:lykxb,121kk)(2)12211212tan||ABABAABB.(1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,12120AABB).直线12ll时，直线l1与l2的夹角是2.5.1l到2l的角公式(1)2121tan1kkkk.(111:lykxb，222:lykxb,121kk)(2)12211212tanABABAABB.(1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,12120AABB).直线12ll时，直线l1到l2的角是2.6．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定的系数;经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．2(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的交点的直线系方程为111222()()0AxByCAxByC(除2l)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．83.点到直线的距离0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).7.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.8.111222()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CAxByCAxByC（12120AABB），则111222()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分.9.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).（3）圆的参数方程cossinxarybr.（4）圆的直径式方程1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)Axy、22(,)Bxy).10.圆系方程(1)过点11(,)Axy,22(,)Bxy的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．(3)过圆1C:221110xyDxEyF与圆2C:222220xyDxEyF的交点的圆系方程是2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定的系数．11.点与圆的位置关系点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.12.直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;30相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.13.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含210rrd.14.圆的切线方程(1)已知圆220xyDxEyF．①若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022DxxEyyxxyyF.当00(,)xy圆外时,0000()()022DxxEyyxxyyF表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆222xyr．①过圆上的000(,)Pxy点的切线方程为200xxyyr;②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上)0(12222babxay中心在原点，焦点在y轴上4图形范围xayb，xbya，顶点12120000AaAaBbBb，、，，、，12120000AaAaBbBb，、，，、，对称轴x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上焦点1200FcFc，、，1200FcFc，、，焦距)0(221ccFF)0(221ccFF离心率)10(eace)10(eace准线2axc2ayc参数方程与普通方程22221xyab的参数方程为cossinxayb为参数22221yxab的参数方程为cossinyaxb为参数3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离），则211000aPFedexexaaexc；同理得20PFaex。简记为：左“＋”右“－”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。22221xyab；若焦点在y轴上，则为22221yxab。有时为了运算方便，设),0(122nmmnymx。5双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。说明：①||PF1|-|PF2||=2a（2a|F1F2|）是双曲线；若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a|F1F2|时无轨迹。②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1||MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1||MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2．双曲线的方程及几何性质标准方程)0b,0a(1byax2222)0b,0a(1bxay2222图形焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）对称轴实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2离心率||||2MDMFace||||2MDMFace准线方程cax:l,cax:l2221准线间距离为ca22cay:l,cay:l2221准线间距离为ca22渐近线方程0,0byaxbyax0,0aybxaybx3．几个概念（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：12222byax的共轴双曲线是12222byax。①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。6注：①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）②定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线③圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当10e时，表示椭圆；当1e时，表示双曲线；当1e时，表示抛物线。④抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准