12高等数学课件(完整版)详细

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十二章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts知g2st则小球运动的时间为1tT22t32tg212122)2(1212g1263.2(s)设tk表示第k次小球落地的时间,定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若qqaan1从而qannS1lim因此级数收敛,;1qa从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此nSn为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则级数成为,a,0不存在,因此级数发散.例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和例3.判别级数的敛散性.解:nnnln2)1ln()1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛,其和为二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu)(nS这说明级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数1nnu的前k项去掉,的部分和为nllknu1knkSS数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,S推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但发散.因此必有例如，用反证法可证例如例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则nn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”定理2(比较审敛法)设且(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(n=1,2,3…)例1.讨论P级数pppn131211(常数p0)的敛散性.调和级数与P级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn证明级数发散.证:因为2)1(1)1(1nnn而级数21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.定理3.(比较审敛法的极限形式),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,是两个正项级数,(1)当时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv可得如下结论:对正项级数,nu,1pl0lunnlimpnl0发散nu(2)当且收敛时,0lnv(3)当且发散时,lnv也收敛;也发散.收敛nu的敛散性.～nnn1lim例3.判别级数11sinnn的敛散性.解:nlimsin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例4.判别级数1211lnnn解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n～21n2n211lnn定理4.比值审敛法(D’ALEMBERT判别法)设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散.(3)当时,级数可能收敛可能发散;11lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.limn例5.讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x定理5.根值审敛法(CAUCHY判别法)设为正项级,limnnnu则数,且时,级数可能收敛也可能发散.(3)例如,p–级数pnnnnu1)(1n但,1p级数收敛;,1p级数发散.例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:nnnnnu1由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和Sn近二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS其余项满足.1nnur,,2,1,0nun设收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用LEIBNITZ判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn1110)1(nnnn收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设nv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu且nv,nu收敛,令例7.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nnnnennn证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.(2)令nnnuu1limlimn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别部分和极限13.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:绝对收敛条件收敛思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.EX:1.判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.不是p–级数(2)11nn发散,故原级数发散.第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数1,110xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称ox发散发散收敛收敛发散定理1.(ABEL定理)若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,,0R幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)称为收敛区间.ox发散发散收敛收敛发散定理2.若的系数满足;1R;R.0R1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaR对端点x=－1,1limnnna