搜索
1/17概率论基础知识第四章随机变量的数字特征一数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x的数学期望（或均值）既为E(X)，即E(X)=意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：X28910P0.20.50.3问谁的平均中环数高？解：甲的平均中环数为E(X1)=80.3+90.1+100.6=9.3乙的平均中环数为E(X2)=80.2+90.5+100.3=9.1可见E(X1)E(X2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。例3：设，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？年龄18192021∑人数51515540x18192021pX18910P0.30.10.62/17解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。X4567…n…P0.20.80.23/17W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X为离散型随机变量，其分布律为，且级数(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为ƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：X-101/212P1/31/61/61/121/44/17例9：设，求解：（令m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数由于，即其概率密度为于是国家的平均收益为令解得a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。2.二维随机变量函数的数学期望定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)（1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为高等数学中级数的求和很关键！！！准备—实际需要=剩余--5/17（2）如果（X，Y）为二维离散型随机变量ƒ(χ,y)证略。例12.设(X,Y)的概率密度为试求E()§4.1.4数学期望的性质性质1.若c为常数，则E(c)=C性质2.若c为常数，X为随机变量，则E(cX)=cE(X)性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(X±Y)=E(X)±E(Y)推广：设为n个随机变量，则有性质4.如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)推广：如果n个随机变量X1,X2,…Xn相互独立，则有则有。例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？解：令表示第i名射手所需的子弹数i=1,2,…,9X为9名射手所需的子弹总数，显然而的分布律为于是由性质3便可求得平均所需准备的子弹数：即平均需准备12发子弹。二方差§4.2.1方差的概念Xi123p0.80.2×0.8=0.161-0.8-0.16=0.046/17意义：D(X)表示X取值相对于平均值E(X)的分散程度§4.2.2方差的计算1.由方差定义直接计算(2)若X为连续型随机变量，其概率密度为ƒ(χ),则GD2.由下列重要公式计算证：GD例2.设求解：前面已求得于是例3.设离散就求和连续就积分分部积分法注意：记忆常见分布的数学期望和方差（最好都推导一遍）7/17解：前面已求得，于是§4.2.3方差的性质（注意：相加时期望没要求相互独立）性质4.设X为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为其中c为常数。例4.设X为随机变量，E(X),D(X)存在，又设，例5.设X~B(n,p),求E(X),D(X)解：设在贝努里试验中，事件A出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n重贝努里试验,令Xi01思考：如果二者独立D(X-Y)=D(X)-D(Y)?实际上D(X-Y)=D(X)+D(Y)8/17i=1，2，…，n另一方面，令X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数，则X~B(n,p)§4.2.4切比雪夫不等式定理1：设X为随机变量，且E(X),D(X)存在，则对任意实数є，成立证：只证X为连续型随机变量的情况设ƒ(χ)为X的概率密度，则有例6.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。解:令X表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)可用车比雪夫不等式进行估计此概率§4.2.5常用分布的数学期望与方差以下结果要熟记1.二点分布X～B(1,p)9/17X010q=1-p,E(X)=p,D(X)=pqpqp2.二项分布X～B(n,p)..三协方差及相关系数§4.3.1协方差1．协方差的概念10/17滚动滚滚动2.协方差的性质11/17滚动例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y(单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：X\Y12310.20.10.010.3120.150.300.060.5130.030.050.100.180.380.450.171滚§4.3.2相关系数1．相关系数的概念例3：解：由前面得到的结果可知，且2．相关系数的性质性质1性质212/17证：（）例4：设X的分布律为解：滚动于是而所以X-101P相关系数为0，能否说二者无关了？NO-13-/17滚动滚动滚动讨论如下：（1）（2）。（3）。性质31/2Pi问题：相关系数到底说明什么问题？似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。由此问题引出性质3相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确积变偶不变，符号看象限-14-/17滚动§4.3.3协方差矩阵-15-/17为（X1，X2，…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。性质1.V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j2.V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动滚动四n维正态分布§4.4.1n维正态分布的概率密度对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为-16-/17滚动可见，（X，Y）的概率密度便可表为定义1.如果n维随机变量（X1，X2，…，XN）的概率密度为§4.4.2n维正态分布的几个重要性质-17-/17滚动由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。