高中数学-数列

数列数列的定义递回数列数学归纳法数列的定义：将一些数字依序排成一列，就成为一个数列。一个数列形如a1，a2，…，an，…，其中a1称为第一项(或称为首项)，a2称为第二项，…，以此类推，an称为第n项，又称一般项(n为正整数)；此数列以符号表示。数列的定义p.8~p.11na1p.8(1)试写出数列的前五项。(2)设数列的一般项为，试写出此数列的前五项。21n1(1)nnanna(1)将n=1，2，…，5分别代入得前五项为1，3，5，7，9(2)将n=1，2，…，5分别代入得前五项为－1，，，，21nan121(1)nnan131514等差数列：一个数列若后项减去前项所得的差为定值，就称为等差数列，而此定值就称为此等差数列的公差。若等差数列的首项为a1，公差为d，则此数列为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…。数列的定义p.8~p.11na数列的定义p.8~p.11等差数列的一般项：若等差数列的首项为a1，公差为d，na则其一般项为an=a1+(n－1)d。等比数列：一个数列若后项除以前项所得的比值为定值，就称为等比数列，而此定值就称为此等比数列的公比。若等比数列的首项为，公比为，则此数列为，，，，。数列的定义p.8~p.1111(0)aana(0)rr1a1ar21ar31ar等比数列的一般项：数列的定义p.8~p.11则其一般项为。11nnaar若等比数列的首项为，公比为，na11(0)aa(0)rr2p.10试写出下列数列的前五项，并求出其一般项an：(1)等差数列首项为2，公差为3。(1)等差数列的首项a1=2，公差d=3下面几项分别为：故此等差数列的前五项为2，5，8，11，14此等差数列的一般项为21324354235538831111314aadaadaadaad1(1)2(1)331naandnn2p.10试写出下列数列的前五项，并求出其一般项an：(2)等比数列首项为1，公比为。12(2)等比数列的首项，公比下面几项分别为：，，11a2111122aar12r43111428aar32111224aar541118216aar2p.10试写出下列数列的前五项，并求出其一般项an：(2)等比数列首项为1，公比为。12(2)故此等比数列的前五项为1，，，，此等比数列的一般项为121814116nnnnaar111111122递回数列的定义：若一数列的后项可以由前面的项，根据某个规则(称为递回关系)而推得，这样的数列称为递回数列，一开始给定的项称为初始值。等差数列的递回定义式(简称递回式)可写成等比数列的递回定义式(简称递回式)可写成递回数列p.12~p.1911,2nnaaaadn11,2nnaaaran3p.13试写出下列递回数列的前五项：(1)，且。21(2)nnaann11a(1)由初始值与递回关系依序代入可以得到故此数列的前五项为1，5，14，30，5512132435414591416302555aaaaaaaaa3p.13试写出下列递回数列的前五项：(2)，且。121(2)nnaan11a(2)同上依序代入可以得到故此数列的前五项为1，3，7，15，31121324354121321721152131aaaaaaaaa从递回式求一般项(等差数列)：首项为，公差为d的等差数列，其递回式为各等式相加并作对消，得到。从递回式求一般项(等比数列)：首项为，公比为的等比数列，其递回式为各等式相乘并作对消，得到。递回数列1aa11,2nnaaaadnna(1)naandnaaaa1(0)(0)rr11,2nnaaaran1nnaarp.12~p.19从递回式求一般项：由递回关系可以导出等差数列与等比数列的一般项。一般而言，求数列的一般项公式，通常是由观察规律开始的。递回数列p.12~p.194p.15(1)实际画画看可得，，，18a213a318a423a用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。设an是第n图中的白色正方形个数，则：(1)试求a1，a2，a3，a4。4p.15用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。设an是第n图中的白色正方形个数，则：(2)求出an和an－1之间的关系。(2)n(2)如图，可看出第n－1图加上五个白色正方形和一个黑色因此，15nnaa正方形，就得到第n图，如以下红色虚线框处所表示用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。设an是第n图中的白色正方形个数，则：(3)写出数列的递回式。4p.15na1185,2nnaaan(3)承(2)，可得数列的递回式为na4p.15因此，一般项为85(1)53nann(4)是一个首项为8，公差为5的等差数列na用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。设an是第n图中的白色正方形个数，则：(4)试求an。5p.16已知正三角形的边长为1，如右图，依次连接△三边、、的中点、、而成△，又再次连接△的三边、、的中点、、而成△，以此类推而得一系列的三角形。设是△的周长，则：(1)试求，，。111ABC11AB111ABC11BC11CA2C2B2A222ABC222ABC22AB22BC22CA3C3B3A333ABCnannnABC1a2a3a(1)由于三角形两边中点连线段长是第三边长的一半故△的周长是△之半，以此类推故，，222ABC111ABC13a232a334a5p.16已知正三角形的边长为1，如右图，依次连接△三边、、的中点、、而成△，又再次连接△的三边、、的中点、、而成△，以此类推而得一系列的三角形。设是△的周长，则：(2)设，求出与之间的关系。111ABC11AB111ABC11BC11CA2C2B2A222ABC222ABC22AB22BC22CA3C3B3A333ABCnannnABC2n(2)同理，第n个三角形的周长是第n－1个三角形周长的一半故11,22nnaanna1na5p.16已知正三角形的边长为1，如右图，依次连接△三边、、的中点、、而成△，又再次连接△的三边、、的中点、、而成△，以此类推而得一系列的三角形。设是△的周长，则：(3)写出数列的递回式。111ABC11AB111ABC11BC11CA2C2B2A222ABC222ABC22AB22BC22CA3C3B3A333ABCnannnABCna(3)数列的递回式为1131,22nnaaanna5p.16已知正三角形的边长为1，如右图，依次连接△三边、、的中点、、而成△，又再次连接△的三边、、的中点、、而成△，以此类推而得一系列的三角形。设是△的周长，则：(4)试求。11AB11BC11CA2C2B2A222ABC222ABC22AB22BC22CA3C3B3A333ABCnannnABCna(4)是一个首项为3，公比为的等比数列故一般项为1132nnana12111ABC111ABC6p.18小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设an表示叠了n层所需的橘子数，则：(1)写出数列的递回式。na(1)a1=1。观察图形得知：叠两层可视叠三层可视为两层加上一个3×3的为一层加上一个2×2的“底”而成；“底”而成，如右图6p.18小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设an表示叠了n层所需的橘子数，则：(1)写出数列的递回式。na(1)同理，叠n层可视为n－1层加上一个n×n的“底”而成nn因此，21nnaan故数列的递回式为1211,2nnaaannna6p.18小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设an表示叠了n层所需的橘子数，则：(2)若要叠七层，100个橘子够不够？(2)由递回式可逐项求出2212145aa232314aa243430aa6p.18小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设an表示叠了n层所需的橘子数，则：(2)若要叠七层，100个橘子够不够？故需要140个橘子才能叠到七层，100个是不够的265691aa2767140aa(2)254555aa数学归纳法：如果一个与正整数n有关的命题满足下列两个条件：(1)当n=1时命题成立。(2)设n=k时命题成立，由此可以推得n＝k＋1时命题也成立。则此命题对于所有自然数n都成立。数学归纳法p.19~p.26设数列满足递回式。试求一般项an。p.207112121,2nnaaannnna先找出并观察前几项的数值，，因此，我们推测底下用数学归纳法证明此式成立112a21212322aa32213433aa43214544aa1nnan设数列满足递回式。试求一般项an。p.207112121,2nnaaannnna(1)当n=1时，，推测成立(2)设n=k时推测成立，即则n=k＋1时111112a1kkak设数列满足递回式。试求一般项an。p.207112121,2nnaaannnna所以n=k＋1时，推测也成立故由数学归纳法可知，对于所有自然数n都成立122111(1)(2)(1)(1)(2)1(1)1(1)(2)(1)(2)2kkkaakkkkkkkkkkkkkk1nnan(1)当n=1时，是7的倍数，命题成立(2)设n=k时命题成立，即是7的倍数则n＝k＋1时由假设是7的倍数；也是7的倍数所以亦是7的倍数故由数学归纳法可知，原命题成立即对任意正整数n，是7的倍数014837a1483kka(1)111114834834883(48328)8kkkkkka1483k1288k1ka1483nna试证明：对任意正整数n，是7的倍数。p.2381483nna利用数学归纳法时：(1)检验n=1成立。(2)在n=k成立的假设下导出n＝k＋1成立。这两个步骤缺一不可。数学归纳法p.19~p.26利用数学归纳法证明：对所有正整数n均成立。p.249222(1)(21)126nnnn(1)当n=1时，，原式成立(2)设n=k时原式成立即212316222(1)(21)126kkkk利用数学归纳法证明：对所有正整数n均成立。p.249222(1)(21)126nnnn则n=k＋1时故由数学归纳法可知，原式对所有正整数均成立22222212(1)(21)(1)((21)6(1))66(1)(276)(1)(2)(23(1)(1)(1)()66(1)1)(1)(21)6kkkkkkkkkkkkkkkkkkk实验室中的某种细菌以下列的方式繁殖：在第一秒时有3只细菌。每过一秒，会先死去一只细菌，然后剩下的细菌每一只都会分裂成两只。因此第二秒时有4只细菌，第三秒时有6只细菌，如下图。令an表示第n秒时的细菌数目。(1)写出数列的递回式。(2)试求第11秒时的细菌数目。(3)试推测此数列的一般项an，并用数学归纳法证明之。p.2