N阶矩阵高次幂的求法及应用

本科毕业论文分类号学号密级题目（中、英文）N阶矩阵m次方幂的求法及应用SolutionandApplicationofm-orderofnnMartix作者姓名指导教师学科门类提交论文日期专业名称学校代码成绩评定摘要I摘要矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，Jordan标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为n阶矩阵的幂运算来提供一个参考.关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.AbstractIIAbstractMatrixisaconceptmanypracticalproblemsintheabstract,itisanimportantpartofthelinearalgebra,itisalmostthroughoutthevarioussectionsoflinearalgebra,inthefieldofnaturalsciencesandeconomicmanagementofthebranchhasawiderangeofapplications.Justbecauseitwiderangeofapplicationsandisapowerfultoolforsolvingmanyproblems,solearnandmastertheoperationandtheirmethodofoperationrulesandgoodmatrixisamatrixofknowledgewelearnaveryimportantpart.Formatrixpowercalculations,itisMatrixmultiplicationisbased;however,thematrixexponentialoperationismorecomplexbutalsoparticularlytroublesome,solookforasimplecalculationmethodhasbecomeanimportantpartofcomputingpowermatrixhighregard,formanyscholarshavespentalotofresearchefforttoinvestigate,thepaperwillbeonthebasisoftheirresearch,applicationexamplesbymathematicalinduction,multiplicationassociativeapproach,binomialexpansionmethod,themethodblockdiagonalmatrix,standardformmethod,minimalpolynomialavarietyofmethodsandspecialmethodstosolvethematrixmethodphalanxofhigh-power,andthusthepowertoordermatrixoperationstoprovideareference.Keywords：Mathematicalinduction;powermatrix;;binomialexpansionsimilarmatrix.目录III目录摘要..............................................................IAbstract...........................................................II目录............................................................III引言...............................................................11准备知识..........................................................12.1利用数学归纳法求解n阶矩阵的高次幂..........................22.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂...............................42.3利用Jordan标准形求矩阵的高次幂.............................52.4利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂.............................82.5利用乘法结合律求方阵的高次幂...............................102.6利用最小多项式解矩阵的高次幂..............................112.7利用特殊矩阵法求解矩阵的高次幂............................132.7.1对合矩阵.............................................132.7.2幂等矩阵..............................................142.8利用图论算法求矩阵的高次幂...............................152.8.1邻接矩阵.............................................152.8.2nnAAAAAA的元素的意义...........................152.9利用特征多项式求解矩阵的高次幂..............................163矩阵的幂在人口流动的中的应用.....................................17总结..............................................................20参考文献...........................................................21致谢..............................................................22咸阳师范学院2015届本科毕业论文（设计）1引言矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的n阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的n阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的n阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.在这些诸多的方法中，它们都只不过为n阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.1准备知识在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有n行n列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.定义11假设矩阵A是nn矩阵（n阶方阵），n是正整数，那么就把形式mmAAAA个称为A的m次幂.方阵的幂运算规律：;;;;lTkkkklklkklkkkkTAAAAAAAAAAA，其中k，l均为非负整数.N阶矩阵m次方幂的求法及应用22n阶矩阵A的高次幂的一些求法以及应用2.1利用数学归纳法求解n阶矩阵的高次幂数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的23,AA等较低次幂的矩阵，再利用23,AA等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测mA的表达式，最后利用数学归纳法加以证明mA对于一切自然数都成立（其中,mN下同）.例12已知矩阵100100A,试求mmA为自然数.解因为1001,00A所以22222102,00AAA3232323330300AAA，由23,AA这两个矩阵的规律就可以得出，2A的第一行元素就是2+1展开式的三个元素，而3A的第一行的元素是3+1展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出mA的第一行元素就应该是1m的展开式的前三个元素，也就是121,,2mmmmmm，所以猜测mA为12112000mmmmmmmmmmAm.下面利用数学归纳法进行证明.显然当2m的时候是成立的；假设mA是成立的，则求出1m的结果咸阳师范学院2015届本科毕业论文（设计）3121111020010000mmmmmmmmmmmAAAm11111120100mmmmmmmmmm，显然当1m时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得mA的结果也就是12112000mmmmmmmmmmAm.例23设101010001A，计算nA.解因为101010001A，2102010001AAA，32103010001AAA.所以猜想10010001nnA.下面利用数学归纳法进行证明.当1n时，结论显然成立；假设nk时，结论也是成立的，也就是10010001kkA，则当1nk时，110101101010010010001001001kkkkAAA显然当1nk时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知nA的求解结果是N阶矩阵m次方幂的求法及应用410010001nnA.注通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂