高中数学选修2-1知识要点讲义

高中数学选修2-1知识要点1第一章命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；高中数学选修2-1知识要点22两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px。全称命题的否定是特称命题。特称命题p：x，px，它的否定p：x，px。特称命题的否定是全称命题。考点：1、充要条件的判定2、命题之间的关系典型例题：★1．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是A．1abB．1abC．22abD．33ab高中数学选修2-1知识要点3★2．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为A．n∈N，2n≤1000B．n∈N，2n＞1000C．n∈N，2n≤1000D．n∈N，2n＜1000★３．1||1xx是的A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件高中数学选修2-1知识要点4第二章圆锥曲线知识点：11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系；②设动点,Mxy及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。12、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac13、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab，a最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率22101cbeeaa高中数学选修2-1知识要点5准线方程2axc2ayc14、设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd。15、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。12222MFMFaac16、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab，c最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。高中数学选修2-1知识要点618、设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd。18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypxp上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220ypxp上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220xpyp上，焦点为F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220xpyp上，焦点为F，则02pFy．高中数学选修2-1知识要点721、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点(0,0)对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0x0x0y0y考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,AB两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A．(0,2)B．(1,2)C．2(,1)2D．(2，)★★★2．设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2。点(,)Pab满足高中数学选修2-1知识要点8212||||.PFFF（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆22(1)(3)16xy相交于M，N两点，且5||||8MNAB，求椭圆的方程。高中数学选修2-1知识要点9第三章空间向量知识点：1、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3向量的大小称为向量的模（或长度），记作．4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：abab；结合律：aa．高中数学选修2-1知识要点105、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0bb，//ab的充要条件是存在实数，使ab．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，，，C共面，则1xyzCxyz．9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,ab．两个向量夹角的取值范围是：,0,ab．10、对于两个非零向量a和b，若,2ab，则向量a，b互相垂直，记作ab．11、已知两个非零向量a和b，则cos,abab称为a，b的数量积，记作ab．即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0．12、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,bab的乘积．13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,eaaeaae；20abab；3ababababab与同向与反向，2aaa，aaa；4cos,ababab；5abab．14量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,,xyz，使得pxaybzc．高中数学选修2-1知识要点1116、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是,,,ppxaybzcxyzR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，,,abc称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组,,xyz，使得123pxeyeze．把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作,,pxyz．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,,xyz．18、设111,,axyz，222,,bxyz，则1121212,,abxxyyzz．2121212,,abxxyyzz．3111,,axyz．4121212abxxyyzz．