对数螺线与飞蛾扑火之谜

orldofMathematics数学烟云W2016第7卷第4期数学文化99一．引言自古以来，飞蛾扑火的现象就引起了人们的注意。早在唐代，诗人张祜就曾在《赠内人》一诗中提到“斜拔玉钗灯影畔，剔开红焰救飞蛾。”描述的是灯火旁，一名宫女拔下玉钗，剔开火焰，试图解救扑火的飞蛾。图1是近代著名国画大师齐白石先生的一幅写意小品，描述的也是飞蛾扑火的情形。人们不禁要问：飞蛾扑火，明明是自取灭亡，为什么这个习性延续了这么久呢？图2是2010年美国《国家地理》杂志摄影竞赛的入围作品，它描述的是灯光下蛾子飞行的轨迹。更让人疑惑的是既然蛾子喜欢扑向灯火，为什么不沿直线直接扑过去，而要按照螺旋线的轨迹飞行呢？对数螺线与飞蛾扑火之谜孙蕾谷德峰图1齐白石笔下的“飞蛾扑火”图22010年美国《国家地理》摄影竞赛作品orldofMathematics数学烟云W数学文化第7卷第4期2016100为了解释蛾子这些古怪的习性，本文从一道有趣的数学题入手，运用几何知识建立常微分方程，通过分析方程解的几何特征，从数学建模的角度来探索飞蛾扑火之谜。二．“四虫爬行”问题JamesStewed撰写的美国著名微积分教程Calculus中有一道附加题：例1四只小虫放在边长为α的正方形的四个顶点上。小虫同时沿着逆时针的方向以相同的速度爬行，而且每只小虫爬行的方向都时刻正对着下一只小虫。小虫将会沿着螺旋线接近正方形的中心，如图3所示。以正方形的中心为极点，求小虫爬行轨迹的极坐标方程。我们将这个问题简称为“四虫爬行”问题。当然也有人把四只小虫换成四只小狗或者四只乌龟，但问题本质是一样的。首先我们来分析一下小虫运动轨迹的几何特征：如图4所示，以正方形的中心O为极点，小虫的初始位置分别位于为正方形的四个顶点A,B,C,D处。在某一时刻，四只小虫分别位于点A1,B1,C1,D1处。由小虫爬行的一致性和图形的对称性，可知四边形A1B1C1D1是一个正方形，并且这个正方形的中心就是极点O。由于位于A1处的小虫正对着位于B1处的小虫，因此A1处的小虫的速度方向与向量A1B1!!!!一致，它也是小虫的爬行轨迹在A1处的切向量。向量OA1!!!平分正方形的一个直角，于是∠OA1B1等于π4，这也意味着向量A1B1!!!!与向量OA1!!!成定角3π4。图3“四虫爬行”问题图4“四虫爬行”问题的几何图形orldofMathematics数学烟云W2016第7卷第4期数学文化101由小虫始终以同样的方式爬行，在任意时刻，小虫的速度方向都与极点O至小虫的位置形成的向量成定角3π/4。于是这个问题就可以归结为求一曲线的极坐标方程，该曲线上任意点A1处的切向量都与极点O至此点A1所成的向量OA1!!!成定角3π/4。我们可以把问题推广为更一般的情形，如图5所示：求一曲线的极坐标方程，该曲线上任意点P所对应的切向量都与极点O至此点P成的向量OP!!成定角α，0απ。其中，向量OP!!定义为点P关于极点O的向径。于是可以利用切向量与向径成定角的关系来建立常微分方程。设该曲线的极坐标方程为ρ＝ρ(θ）。把它化成参数方程的形式，x=ρ(θ)cosθy=ρ(θ)sinθ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪.于是点P(x,y)关于极点O的向径就是向量OP!!，且OP!!＝{ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ}.设过点P(x,y)的切向量为T!，则T!={ρ'(θ)cosθ−ρ(θ)sinθ,ρ'(θ)sinθ+ρ(θ)cosθ}.再利用向径与切向量成定角的关系，由向量的夹角公式有，cosα=OP!!iT!OP!!T!=(ρ'(θ)cosθ−ρ(θ)sinθ)ρ(θ)cosθ+(ρ'(θ)sinθ+ρ(θ)cosθ)ρ(θ)sinθρ(θ)(ρ'(θ)cosθ−ρ(θ)sinθ)2+(ρ'(θ)sinθ+ρ(θ)cosθ)2=ρ'(θ)(ρ'(θ))2+(ρ(θ))2.图5极坐标下切向量与向径成定角的曲线orldofMathematics数学烟云W数学文化第7卷第4期2016102由于0απ，利用上面的结果就可以得到sinα=1−cos2α=ρ(θ)(ρ'(θ))2+(ρ(θ))2.于是有cosα=ρ'(θ)/ρ(θ).解这个常微分方程，可得ρ(θ)=Ceθcotα.其中C是任意正常数。再回到例1中，由于小虫爬行轨迹中任意一点的切向量与向径始终是成3π/4的定角的，小虫的爬行轨迹也会满足ρ(θ)=Ceθcot3π4。四只小虫在初始位置的极坐标分别为A(a2,π4)，B(a2,3π4)，C(a2,5π4)，D(a2,7π4)。将这些初值条件带入常微分方程解的表达式，就可以求得四只小虫爬行轨迹的极坐标方程如下：ρ(θ)=a2eπ4−θ,ρ(θ)=a2e3π4−θ,ρ(θ)=a2e5π4−θ,ρ(θ)=a2e7π4−θ三．对数螺线及其性质观察小虫爬行轨迹的特点，由上节ρ(θ)的表达式，我们可以发现当θ趋向于正无穷的时候，ρ趋向于0。这也就意味着四只小虫明明彼此相望，却殊途同归地爬向了极点O。那么飞蛾扑向灯火会不会和这个爬行轨迹有所关联呢？接下来我们就看一看切向量与向径成定角α的曲线的几何特征。在极坐标方程ρ(θ)=Ceθcotα中，当α∈(π/2,π)时，切向量与向径成钝角，cotα0，极径ρ随着θ的增加而减小，曲线随着θ角的增大成螺旋线状接近极点O。当α∈(0,π/2)时，切向量与向径成锐角，cotα0，ρ随着θ的增加而增加，图6对数螺线的几何特征π/2απ0απ/2α＝π/2