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1解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段.解题模型一图形转化直线l外有一定点A，点B是直线l上的一个动点，求AB的最小值.过定点A作AB⊥l于点B.针对训练1.如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为20．【答案】20【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．[来源:Z+xx+k.Com]解题模型二图形转化2A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP＋BP的最小值.作其中一个定点关于定直线l的对称点，连接对称点与另一定点.点A是l1上的动点，B，P是定点，求PA+AB的最小值.作点P关于直线l1的对称点P’，则P’B为PA+AB的最小值.针对训练2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．ABB．DEC．BDD．AF【答案】D故选：D．#3【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．3.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【答案】．∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，∴∠A'=∠C，∵∠AEA'=∠BAC=90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，4∴A'E=，即AD+DE的最小值是；故答案为：．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．解题模型三图形转化P为定点，M，N为定直线上的动点，求△PMN周长的最小值.过定点P分别作关于两条定直线的对称点，连接两对称点.求直线l1，l2上的点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.作定点Q关于直线l1的对称点Q’，作定点P关于直线l2的对称点P’，连接Q’P’，分别交直线l1，l2于点M，N针对训练4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）5A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．6【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．5．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】．#∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，7【点睛】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．解题模型四图形转化直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的值最小.[来源:]将点A向下平移MN的单位长度得A′，连接A′B，交n于点N，过点N作MN⊥m于M，点M，N即为所求.在直线l上求两点M，N（M在左），使MN＝a，并使AM＋MN＋NB的值最小.将点A向右平移a个长度单位得A′，作A′关于l的对称点A″，连接A″B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位长度得M.针对训练6.如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．8【答案】16【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建平行四边形解决问题，属于中考常考题型．%解题模型五图形转化9[来源:ZXXK]P是圆上一动点，求AP的最大值和最小值．当P点运动到点B时，AP取得最小值；当P点运动到点C时，AP取得最大值.P为圆内一定点，求过点P的弦的最小值与最大值.AB是过圆O内定点P的弦.当OP⊥AB时，过点P的弦的最小值为线段AB；过点P的弦的最大值为圆的直径.针对训练7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2B．6C．2﹣2D．4【答案】A∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE==2，10∴DB′=2﹣2．故选：A．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．8．如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为12．【答案】最大值为12%【点睛】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．解题模型六图例[来源:Zxxk.Com]11圆柱――→展开则AB2＝B′A2＋B′B2长方体阶梯问题基本思路将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.[来源:]针对训练9．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】20【解析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解：如图：#将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．12故答案为20．【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺．【答案】25【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．