利用二次函数找规律

1利用二次函数找规律昆明第五中学史安随着新课标的实施,每年都有不少关于“图形”“数字”的规律题出现,规律型试题因它具有的直观性、可操作性更能考查学生的识图、分析、归纳、想象、动手操作、自主探究等多种能力而备受青睐.这类题既是规律题,那便有规律可循,解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。而现在主要向大家介绍另一种解决找规律问题的方法，那就是用二次函数的思想来解决，下面通过几个具体的例子说明这些问题.一、寻找图形的增减规律例1：观察图中正六边形网的变化规律：（1）、完成下表正六边形网的圈数12345小点总数（2）、如果用n表示六边形网的圈数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么m和n的关系是什么？这道题如果用观察、分析、归纳的办法来找规律就显得非常困难，因为在结果中n的次数是2次，下面我们就用二次函数来解，你会发现2问题变得很容易下手，结论也易于得出。解：（1）、填表正六边形网的圈数12345小点总数618366090（2）、在平面直角坐标系中描出点（1，6）、（2，18）、（3，36）、（4，60）、（5，90）、观察图中描出的点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，正多边形中小点的总数m和六边形网的圈数n的关系可以用二次函数来模拟，设m=an2+bn+c,在已知数据中，任取三组，如取（1，6）、（2，18）、（3，36）分别代入所设的函数关系式，得方程组，22261118223633abcabcabc解这个方程组得，3,3,0abc所以，m=3n2+3n.再将点（4，60）、（5，90）分别代入检验，均成立。因此，m和n的关系为m=3n2+3n。例2：（2004年泸州）把正方体摆放成如图的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n层有＿＿＿个正方体.解：观察图形中正方体的层数与正方体的个数之间存在这样的关系：第一层，1个；第二层，3个；3第三层，6个；可猜测第四层，10个；第五层，15个，……，由此我们可以得到一组点的坐标（1，1），（2，3），（3，6），（4，10），（5，15），那么我们就可以设正方体的个数s与正方体的层数n之间的函数关系式为2sanbnc，再将任意3个点的坐标代入所设函数关系式，就能求出系数,,abc的值。若我们选择的是前三个点的坐标，则有222111322633abcabcabc解这个方程组得，11,,022abc所以21122snn.再将点（4，10），（5，15）分别代入检验，均成立。因此第n层有21122snn个正方体。二、寻找数的排列规律例3：有一组数1，5，9，13……，第5个数是几？第10个数呢？第n个数呢？解：观察序号与数字的关系可以用一组点的坐标来代替（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）……，由此可以设2sanbnc，n取1，2，3，……，将点（1，1），（2，5），（3，9）分别代入所设的函数关系式，得方程组，222111322633abcabcabc解得0,4,3abc.4所以43sn再将其它点代入检验，均成立。因此第5个数是17，第10个数是37，第n个数是43n.例4：(06荆州)用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是_______.解：在这个问题中我们同样能得到一组点的坐标（1，3），（2，7），（3，11）（4，26）……，同样设正方体的个数s与图形的序号n之间的函数关系式为2sanbnc，再将点的坐标（1，3），（2，7），（3，11）代入所设的函数关系式，可得方程组2223117221133abcabcabc解得0,4,1abc.由此41sn再将其它点代入检验，均成立。所以第n个图形中正方体的个数是41n个.由以上的例题，我们不难得到利用二次函数找规律的步骤，那就是先找出相关的点的坐标，然后设出二次函数关系式，再将点的坐标代入，最后分别求出各个系数的值即可。但在例3例4中，我们最后求出的n=1n=2n=3……5是一次函数的关系式，那会不会有什么问提呢？其实在实际的做题过程中，不必考虑它是哪种函数关系式，可以统一设为二次函数的关系式，若求出的0a，则为一次函数，否则就是二次函数。在初中阶段的找规律的题目中，绝大多数均能用以上的办法来解决，如果求出的是一次函数，那么这个问题就已经解决了，如果求出的是二次函数关系式，那就一定要把后面的点代入检验，不然就很容易出错，比如下面的例子。例5：（06宜昌市）数字解密:第一个数是3=2+1.第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8，……观察并猜想第六个数是________.解：我们先找出点的坐标（1，3），（2，5），（3，9），（4，17）……，然后设函数关系式为2sanbnc，再将点的坐标（1，3），（2，5），（3，9）代入得方程组：2223115221933abcabcabc解得6,16,13abc因此261613snn.但我们若把第四个点的坐标代入就会发现24641641345s，而实际上这道题目中的第四个数是17，第五个数是33，第六个数是65.下面给出一种解法供参考，解决这样的题目关键是要观察数字的数量关系，找出其中蕴含的规律，并根据规律猜想出问题的答案，这样的题目一般是体现由特殊到一般，再由一般验证特殊的思想.观察发现规律①:右侧两数据的差为1;规律②:左侧数据与前一个数的右侧第一个数据相同.由此猜想第五个数是33=17+16，第六个数是665=33+32.故填65.尽管用二次函数的办法来解决找规律的问题有时会出错，但是在找规律时，如果一时无法直接得出结论，那么采用二次函数的方法来求不失为一个好办法。