《高二数学解三角形》PPT课件

•章末整合提升•一、本章的主要内容和思路•本章主要内容包括正弦定理和余弦定理及应用举例两部分内容．教材采用由特殊到一般的呈现方式，以直角三角形为例证明了正弦定理，然后在一般三角形中证明了正弦定理，再用几何法，通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理，接着，利用坐标法，借助于三角函数的定义推导出了三角形的面积公式(探索与研究部分)．教材通过例题说明了解三角形在测量建筑物的高度，求两点间的距离，以及求力的大小等方面的应用．正弦定理、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．•本章内容与已学过的关于三角形的定性研究的结论相联系，与三角函数知识相联系，同时也体现了向量及其运算的应用，高考中常与三角函数、向量知识进行综合考查．•本章知识在现实生活中有广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离，高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题．因此，通过本章的学习，可提高学生的数学建模能力．•二、知识结构•三、方法技巧•1．解三角形常见类型及解法．•在三角形的6个元素中，要知道三个已知量(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法三边(如a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解•2.三角形中解的个数的确定．•已知两边和其中一边的对角不能惟一确定三角形的形状，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理：asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa.若sinB1，无解；若sinB＝1，当A90°且ab时，有一解，其余情况均无解；若sinB1，根据三角形内角和定理及大边对大角知，当ab时，B有一解，是锐角，当a＝b且A90°时，B有一解是锐角，当ab且A90°时，B有两解，其余情况均无解．归纳结果如下表所示：•(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A，由余弦定理有a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有惟一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．•(3)注意一种重要关系．•在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解，即存在的条件是cosA＋cosB0，反之亦成立．简证如下：•C有解⇔A＋B有解⇔0A＋Bπ⇔0Aπ－Bπ⇔cosAcos(π－B)⇔cosA－cosB⇔cosA＋cosB0，因此判断C是否有解，只需考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分简便．•3．三角形形状的判定方法．•欲判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三个角相等？有无直角？有无钝角？因此，判定三角形的形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；二是利用正弦定理和余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．•4．应用解三角形知识解实际问题的步骤：•(1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其理解应用中的有关名词和术语，如仰角、俯角、视角、方位角等；•(2)根据题意，画出示意图，将已知条件在图形中标出；•(3)将已知问题化归到一个或几个三角形中，并弄清该三角形的已知量和未知量；•(4)合理选用正、余弦定理并作答；(5)与其他知识的综合运用．在解三角形中应用正弦定理、余弦定理时，还要注意与三角形的其他知识的综合应用．①三角形的内角和定理：A＋B＋C＝180°；②三角形的面积公式：S＝12ah，S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；③大边对大角，等边对等角；•④两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；•⑤三角函数中的诱导公式、和角公式、倍角公式等；•⑥与向量知识、解析几何、立体几何知识的联系.•专题一用正、余弦定理处理三角形中的边角关系•思维突破：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起运用，要注意恰当的选用定理，简化运算过程，提高解题速度．同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件．[例1]在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－45.(1)求sinB的值；(2)求sin(2B＋π6)的值．分析：已知三角形两边及一边对角的余弦值，也就是知道一边的对角，首先应考虑到用正弦定理．至于求sin(2B＋π6)，由公式可知只要知道cosB即可．解析：(1)在△ABC中，sinA＝1－cos2A＝1－－452＝35.由正弦定理得BCsinA＝ACsinB，所以sinB＝ACBCsinA＝23×35＝25.(2)因为cosA＝－45，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是cosB＝1－sin2B＝1－252＝215，cos2B＝2cos2B－1＝2×2125－1＝1725，sin2B＝2sinBcosB＝2×25×215＝42125，sin(2B＋π6)＝sin2Bcosπ6＋cos2Bsinπ6＝42125×32＋1725×12＝17＋12750.•专题二三角形形状的判断问题•思维突破：判断三角形的形状问题，通常将角转化为边，或将边转化为角，通过三角或代数变形运算，转化为反映三角形类型特征的数量关系(如边的相等关系、勾股关系、角的相等关系、角的三角函数值的大小等)，然后作出判定，这样要特别注意不要随便约掉等式两边的共同因式，这样很容易丢解．•[例2]已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A、∠B为相应两内角，试判断这个三角形的形状．•分析：先由已知条件得出三角形的边角关系．要判断三角形的形状，只需将边角关系转化为边边或角角的关系即可判定．解析：解法1：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理知x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.由题意得bcosA＝acosB，根据余弦定理得b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，化简得a＝b.∴△ABC为等腰三角形．•解法2：由题意得bcosA＝acosB，•由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，•∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.•∵0∠Aπ，0∠Bπ，•∴－π∠A－∠Bπ.•∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B.•故△ABC为等腰三角形．•专题三与面积有关的问题•思维突破：解与三角形面积有关的问题，常与三角函数、正弦、余弦定理结合在一起，解题时要注意各个量之间的关系，灵活运用公式是解题的关键．•[例3]如图，公园内有一块边长为2a的等边△ABC形状的三角地．现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．•(1)设AD＝x(x≥a)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；•(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明．•分析：(1)要用x表示y，可由面积相等用x表示出AE，然后用余弦定理表示y.•(2)DE的最值即是y＝f(x)的最值，常借助y＝f(x)的单调性求解．解析：(1)△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，∵S△ADE＝12S△ABC＝12·34·(2a)2＝12x·AE·sin60°，∴AE＝2a2x.在△ADE中，由余弦定理得y2＝x2＋4a4x2－2x·2a2x·cos60°，∴y2＝x2＋4a4x2－2a2.∴y＝x2＋4a4x2－2a2(a≤x≤2a)．(2)令x2＝t，则a2≤t≤4a2.设f(t)＝t＋4a4t.f(t)在[a2,2a2]上是减函数，在[2a2,4a2]上是增函数．∴当t＝2a2时，f(t)有最小值，即x＝2a时，ymin＝2a，此时DE∥BC且AD＝2a；当t＝a2或4a2时，f(t)有最大值，即x＝a或2a时，ymax＝3a，此时DE为AB或AC上的中线．•评析：此题关键是利用面积公式和余弦定理找到x与y的关系．•专题四与三角形有关的综合问题•1．与三角函数有关的问题．•思维突破：运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题时，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理．运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中若给出三边的关系，往往考虑用余弦定理求解．[例4]在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求∠A和tanB的值．分析：要求∠A的大小，由条件b2＋c2－bc＝a2知，可用余弦定理，而要求tanB的值，利用条件cb＝12＋3用正弦定理即可求解．解析：解法1：由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因此，∠A＝60°.在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理，得12＋3＝cb＝sinCsinB＝sin120°－BsinB＝sin120°cosB－cos120°sinBsinB＝32cotB＋12，解得cotB＝2，从而tanB＝12.解法2：由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因此，∠A＝60°.由b2＋c2－bc＝a2，得(ab)2＝1＋(cb)2－cb＝1＋14＋3＋3－12－3＝154.所以ab＝152.由正弦定理，得sinB＝basinA＝215×32＝15.由①式知ab，故∠B∠A，因此∠B为锐角，于是cosB＝1－sin2B＝25，从而tanB＝sinBcosB＝12.2．与平面向量有关的问题．[例5]已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB→·AC→≤6，设AB→和AC→的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2(π4＋θ)－3cos2θ的最大值与最小值．•分析：本题由向量引出，考查了三角公式的变形与函数思想的应用．解析：(1)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.则由已知条件可得12bcsinθ＝3,0≤bccosθ≤6，即0≤bccosθ≤6，bcsinθ＝6，两式相比可得0≤cotθ≤1，∴θ∈[π4，π2]．(2)f(θ)＝2sin2(π4＋θ)－3cos2θ＝[1－cos(π2＋2θ)]－3cos2θ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1＝2sin(2θ－π3)＋1.∵θ∈[π4，π2]，2θ－π3∈[π6，2π3]，∴12≤sin(2θ－π3)≤1，∴2≤2sin(2θ－π3)＋1≤3.即当θ＝5π12时，f(θ)max＝3；当θ＝π4时，f(θ)min＝2.•专题五解三角形的实际应用题•思维突破：解决应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．•[例6]如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟