[高三数学]立体几何大题训练

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，//ABCD，3CDAB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AMAB，DMDC，SMAD．（1）证明：BM平面SMC；（2）设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为1V与V，求1VV的值．（1）证明:平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,SM平面SAD，SMADSM平面ABCD,…………………1分BM平面,ABCD.SMBM…………………2分四边形ABCD是直角梯形，AB//CD,,AMAB,DMDC,MABMDC都是等腰直角三角形,45,90,.AMBCMFBMCBMCM………………4分SM平面SMC，CM平面SMC，SMCMM,BM平面SMC…………………………………………6分（2）解:三棱锥CSBM与三棱锥SCBM的体积相等,由(1)知SM平面ABCD,得1113211()32SMBMCMVVSMABCDAD,……………………………………………9分设,ABa由3CDAB,,AMAB,DMDC得3,2,32,4,CDaBMaCMaADa从而12323.(3)48VaaVaaa……………………………12分18.(本小题满分14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1。（3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1⊥平面MB1D1MSDCBA证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO连结1AO，1111ABCDABCD是正方体11AACC是平行四边形11ACAC且11ACAC又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO且11OCAO11AOCO是平行四边形111,COAOAO面11ABD，1CO面11ABD1CO面11ABD………………………………………5分（2）1CC面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAB，又1111DBABB1AC面11ABD………………………………………9分（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则363MNANAM，，222,ANMNAMAMNRT，是D1ODBAC1B1A1CM11,,ANMNANBD面M1111,ABDBD面面M（也可以通过定义证明二面角是直二面角）………14分19.（本小题满分14分）如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。(Ⅰ)求证：DM∥平面APC：(Ⅱ)求证：平面ABC⊥平面APC；(Ⅲ)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．19.解：(Ⅰ)由已知得，MD是△ABP的中位线∴MD∥AP…………2分MD面APC，AP面APC∴MD//面APC……………4分(Ⅱ)∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，∴MD⊥PB，………5分∴AP⊥PB…………6分又∵AP⊥PC,PBPC=P∴AP⊥面PBC…………………7分BC面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC，ACAP=A．∴BC⊥面APC……………………………9分BC面ABC．∴平面ABC⊥平面APC…………………………10分（Ⅲ）∵MD⊥面PBC，∴MD是三棱锥M-DBC的高，且35MD…11分又在直角三角形PCB中，由PB=1O，BC=4，可得212PC………12分于是21221BCPBCDSS………………………………13分71031ShVVDBCMDCMD…………14分16．（本小题满分12分）在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是ABF的一条中位线，………………3分则MNAFMNAEFMNAEFAFAEF平面平面平面．………6分（2）因为ABBEABABAF平面BEF，……………8分且6,3ABBEBF，∴9ABEFV，………………………………………10分又3,4EAFMNAFMNEABFABCVSVS∴274EAFMNV．…………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点。（1）若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；（2）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使//PA平面MQB；MNFEBCADAEFMNBFGBDEAC19．解：（1）连BD，四边形ABCD菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD（2）当13t时，//PA平面MQB连AC交BQ于N由//AQBC可得，ANQBNC∽，12AQANBCNC//PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，//PAMN13PMANPCAC即：13PMPC13t18．(本题满分14分)如图，三角形ABC中，AC=BC=AB22，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；(Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．18．解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG//BC，HF//DE，……………………………2分又∵ADEB为正方形∴DE//AB，从而HF//AB∴HF//平面ABC，HG//平面ABC,HF∩HG=H,∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC……………………………………5分证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）∵G、F分别是EC和BD的中点∴DANFDA，NFBE，GMBEGM21//21,//且且…………………2分又∵ADEB为正方形∴BE//AD，BE=AD∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形图1图2NMFGBDEAC∴GF//MN，又ABCMN平面，∴GF//平面ABC……………………………………5分证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，…………………2分∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC……………………………………5分（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC………………………………5分又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC…………7分∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC,∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE……………………………………9分（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，…………………………10分又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。………………11分∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴1122CNAB，…………………………12分∵C—ABED是四棱锥,∴VC—ABED=13ABEDSCN1111326……………………14分18．（本题满分14分）如图，己知BCD中，090BCD，1,BCCDABBCD平面，060,,AC,ADADBEF分别是上的动点，且AEAF==,(01)ACAD（1）求证：不论为何值，总有EFABC;平面（2）若1=,2求三棱锥A-BEF的体积．18．(1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD=900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，所以，CD⊥平面ABC，…………3分又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，ABCPDOPDCBA且(01)AEAFACAD所以，不论为何值，EF//CD,总有EF⊥平面ABC：………7分（2）解：在△BCD中，∠BCD=900，BC＝CD＝1，所以，BD＝2,又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，又在Rt△ABD中，,600ADB∴AB=BDtan6600。………………10分由（1）知EF⊥平面ABE，所以，三棱锥A－BCD的体积是624………………14分18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知24BDAD，225ABDC．（1）求证：BD平面PAD；（2）求三棱锥APCD的体积．18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在ABD△中，由于2AD，4BD，25AB，∴222ADBDAB.……2分∴ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD平面PAD.……4分（2）解：过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD．……6分∵PAD△是边长为2的等边三角形，∴3PO.由（1）知，ADBD，在RtABD△中，斜边AB边上的高为455ADBDhAB.……8分∵ABDC∥，∴114552225ACDSCDh△.……10分∴112323333APCDPACDACDVVSPO△.……14分17．（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD与''ABBA都是正方形，点E是AA'的中点，ABCDAA平面'(1)求证：CA'//平面BDE；(2)求证：平面ACA'⊥平面BDE17．（1）设BD交AC于M，连结ME．ABCD为正方形，所以M为AC中点，……2分又E为AA'的中点ME为ACA'的中位线CAME'//……4分又BDECABDEME平面平面',//'CA平面BDE．……6分（2）ACBDABCD为正方形……8分分平面平面平面分平面又分平面平面14...........'2.........1.''.10..........','BDEACABDEBDACABDAAAACBDAAABCDBDABCDAA18．（本题满分14分）右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDADEC=2.（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B－CEPD的体积；（3）求证：//BE平面PDA．P)(PAABCDDCB图5直观图俯视图18．（本小题满分14分）解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分(2)∵PD平面ABCD，PD平面PDCE∴平面PDCE平面ABCD∵BCCD∴BC平面PDCE----------5分∵11()32322SPDECDC梯形PDCE--6分∴四棱锥B－CEPD的体积1132233BCEPDPDCEVSBC梯形.----8分(3)证明：∵//ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA∴EC//平面PDA,------------------------------------10分同理可得BC//平面PDA----------------------------11分∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA---