第八章非线性优化..

非线性优化的应用投资组合管理优化生产和定价决策工厂位置的优化8.1用一个非线性优化模型定量描述一个管理问题我们将通过考察三个管理中的实例,介绍非线性优化模型的应用。这三个实例分别为:实例8.1:马拉松投资公司的最优投资组合管理。实例8.2:优化生产和定价决策。实例8.3:优化设施位置。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(1)非线性优化模型在资产管理行业中的应用。公募基金,私募基金,券商集合理财,社保基金,保险公司等构造最优资产组合。无论如何构造资产组合都将面临风险,基金管理者希望达到两个主要目标:*使投资组合收益的期望值达到最大化*使投资组合的风险达到最小化投资者困境问题在实际情况中,这两个目标相互抵触。也就是说,为了取得投资组合较高收益的期望值,需要承担风险。相反,为了规避风险,投资组收益的期望值将会被减少。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(2)假设G先生是马拉松投资公司的一名投资经理。假设马拉松投资公司正在构造股票组合,可共选择的三种股票分别为新通信,一般空间系统,以及数字设备。马拉松投资公司的金融分析师(通常毕业于金融工程专业)已经收集了数据,并对数据进行了处理,获得了这些股票收益的期望值,标准差,和相关系数信息。这些信息概括在表8.1中。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(3)表8.1股票名称年期望收益(%)收益的标准差(%)相关系数新通信一般空间数字设备新通信11.04.004.000.160-0.395一般空间14.04.690.1604.690.067数字设备7.03.16-0.3950.0673.16实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(4)概率和统计学的复习随机变量,及随机变量的期望值,标准差,相关系数的定义。随机变量当一个概率模型中的结果是数字时,我们把这个不确定量称做随机变量。随机变量要么是离散随机变量,要么是连续随机变量。一个实例:考虑某飞机制造商。假设X表示该公司第二年将收到飞机的订单数目。X的值是不确定的。因此,X是一个随机变量。X的可能取值:42,43,44,45,46,47,48。X是离散随机变量。假设Y表示北京下一个月降雨的厘米数量。Y的值是不确定的。然而,Y可以是0到15厘米之间的任何数值。Y不限于整数。因此,X是一个连续随机变量。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(5)期望值离散随机变量X的期望值为:μx=E(X)=∑P(X=xi)×xi连续随机变量Y的期望值为:μy=E(Y)=∫y×f(Y)dY方差离散随机变量X的方差计算公式为:VAR(X)=∑P(X=xi)×(xi-E(X))²连续随机变量y的方差计算公式为:VAR(Y)=∫(Y-E(Y))²×f(Y)dY标准差随机变量的标准差为:)1.4()1.4(*实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(6))(XVAR实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(7)协方差与相关性设X和Y是两个具有均值μX和μY的随机变量。随机变量则X和Y的协方差被定义为COV(X,Y)=∑pi×(xi-μX)×(yi-μY)X和Y的协方差是对两个随机变量同步变化的一种度量。X和Y的相关性定义为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(8)YYXCOVYXCORRX),(),(实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(9)考察表8.1中的数据。投资于新通信股票获得的年收益(或资金的年收益率)在投资时是一个未知数,在某些年份会获得高收益,而在某些年份会获得低收益。根据历史数据和对市场环境的研究,金融分析师能够估计一种资产,比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析师也能够估计新通信股票年收益率的标准差,估计结果是4.00%。分析师还估计出新通信股票与一般空间系统股票之间的相关系数,为0.16,新通信股票与数字设备之间的相关系数,为-0.395。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(10)马拉松投资公司想要确定投资三种股票的资金比例。我们定义下述决策变量:XA=投资于新通信股票的资金比例XG=投资于一般空间系统股票的资金比例XD=投资于数字设备股票的资金比例由于这些变量都是百分比,它们必须满足约束条件:XA+XG+XD=1设RA,RG和RD分别表示新通信,一般空间系统和数字设备的年收益率。设R表示三个股票组合的收益率,R可以被表示为:R=XARA+XGRG+XDRD由于RA,RG和RD都是随机变量,因此R也是一个随机变量。事实上,R是随机变量RA,RG和RD的线性函数,其期望值为:E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(11)我们的目标是使组合的年收益率最大化。我们定义σR为组合年收益率的标准差,它是组合的风险大小的一种度量。如何计算σR?参见下述公式推导实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(12)DADGGADGARXXXXXXXXX0.100.20.60.100.220.162222),(2),(2),(22222222DADADADGDGDGGAGAGADDGGAARRRCORRXXRRCORRXXRRCORRXXXXX将表8.1中的数据代入上式,整理后有:所以组合的标准差为:DADGGADGARXXXXXXXXX0.100.20.60.100.220.16222实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(13)假设我们希望组合的年收益不低于11%,如何选择投资比例使的组合的风险达到最小?其数学模型为:0.1DGAXXX最小化:0,,DGAXXXDADGGADGARXXXXXXXXX0.100.20.60.100.220.162220.110.70.140.11DGAXXX约束条件为:比例:目标收益率:非负性:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(14)上述非线性优化模型的目标函数就是投资组合的标准差(度量投资组合风险)。第一个约束条件是所有投资比例(共有3个)之和必须等于1。第二个约束条件是投资组合的年期望值必须至少是11%。第三个约束条件是不可卖空。注意到这是个非线性优化问题,因为目标函数是决策变量XA,XG,XD的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题,结果参见表8.2。实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(15)表8.2股票名称决策变量最优比例新通信XA0.3769一般空间系统XG0.3561数字设备XD0.2670实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(16)根据表8.1中的数据,组合的标准差(目标函数值)为:%400.2)2670.0)(3769.0(0.10)2670.0)(3561.0(0.2)3561.0)(3769.0(0.6)2670.0(0.10)3561.0(0.22)3769.0(0.160.100.20.60.100.220.16222222DADGGADGARXXXXXXXXX实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(17)另外一种方案,假设马拉松投资公司希望目标为最大化组合的收益率,并满足一个使组合的标准差限制在至多是一个预先给定的数值范围内(控制风险)的约束。假设,能够容忍的标准差至多是3.1%。那么,产生的非线性优化问题为:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(18)0.1DGAXXX最大化:0,,DGAXXX1.30.100.20.60.100.220.16222DADGGADGAXXXXXXXXXDGAXXX0.70.140.11约束条件为:比例:目标风险:非负性:实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(19)在这个问题中,目标函数是决策变量的一个线性函数,但是其中一个约束条件是非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题,结果参见表8.3。组合年收益率的期望值将是:E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD=11.0(0.3782)+14.0(0.5339)+7.0(0.0879)=12.250%实例实例8.1马拉松投资公司的最优投资组合管理(20)表8.3股票名称决策变量最优比例新通信XA0.3782一般空间系统XG0.5339数字设备XD0.0879实例8.2优化生产和定价决策(1)回顾GTC公司的生产计划模型,参见第七章的实例7.2。在GTC的生产计划问题中,公司想要选择每天生产扳手和钳子的产量,分别以XW和XP表示,以使每日利润最大化。相应的线性优化模型为:最大化:130XW+100XP约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP≤27浇铸:1.0XW+1.0XP≤21装配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤15钳子需求:XP≤16非负性:XW,XP≥0实例8.2优化生产和定价决策(2)线性优化模型的假设为GTC是一个”价格接受者”,也就是说,GTC是家非常小的公司,以至不会影响扳手和钳子的价格。假设GTC有非常大的市场份额,GTC是扳手和钳子市场的”价格制定者”。市场对GTC的扳手和钳子的需求是GTC所制定价格的函数。假设,PW表示扳手的价格(以每千件美元表示),PP表示钳子的价格(以每千件美元表示)。GTC估计设定的价格PW和PP对扳手和钳子需求的影响可以表示为下述需求等式:DW=565.0-0.50PWDP=325.0-0.25PP其中DW和DP分别表示扳手和钳子的需求。这两个关系式将GTC设定的每件工具的价格与GTC面临的每件工具的需求关联起来。实例8.2优化生产和定价决策(3)所以,如果GTC设定每千件扳手的价格为PW=1,100美元,那么GTC面临的需求为千件:DW=565.0-0.50X1,100=15.0我们注意到需求是价格的递减函数,既价格上升,需求就下降。表8.4给出了生产扳手和钳子的单位(以千件为单位)成本。实例8.2优化生产和定价决策(4)表8.4扳手钳子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP单位成本(美元/千件)1,0001,200利润(美元/千件)PW-1,000PP-1,200实例8.2优化生产和定价决策(5)将扳手和钳子的价格作为两个新的决策变量,并将需求等式和生产成本加入到GTC的生产计划模型中。目标函数就变为:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP扳手和钳子的产量不可以超过它们的需求量:XW≤565.0-0.50PWXP≤325.0-0.25PP修改后的优化模型是:实例8.2优化生产和定价决策(6)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP≤27浇铸:1.0XW+1.0XP≤21装配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤565.0-0.50PW钳子需求:XP≤325.0-0.25PP非负性:XW,XP,PW,PP≥0重新安排后,我们有:实例8.2优化生产和定价决策(7)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP约束条件为:钢铁:1.5XW+1.0XP≤27浇铸:1.0XW+1.0XP≤21装配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW+0.50PW≤565.0钳子需求:XP+0.25PP≤325.0非负性:XW,XP,PW,PP≥0实例8.2优化生产和定价决策(8)在这个模型中,所有约束都是决策变量XW,XP,PW,PP的线性函数。然而,目标函数是决策变量的一个非线性函数。利用EXCEL的规划求解,我们可求解这个问题的最优解。最优解:XW=13.818,XP=6.273,PW=1,102.36,PP=1,274.91。实例8.3优化设施的位置(1)假设一家公司想要选择一个新的分发中心的地址,以便同时对位于A,B,C,D地区的四个销售中心提供服务。图8.1说明了在这个坐标平面中每个销售中心的相对位置。表8.5说明了从新的