第八章非线性最优化模型

第八章非线性最优化模型许多商业过程都以非线性方式运行。例如，一个债券的价格是利率的非线性函数，一个优先购股权的价格是优先股票价格的非线性函数。生产的边际成本常常随着生产数量的增加而减少，一个产品的需求数量常常是价格的非线性函数。这些和其他的许多非线性关系出现在各种商业应用中。藉免刮馁页褒戍城臀教滤腊疮得甫熔阐呆昆滥泰秆唇酒汕茧舆聂祭迁疆快第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应用的研究。在第8..2节中，我们建立了一个关于设计有价证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔奖的Markowitz模型，其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管理科学《为BombardierFlexjet安排航程和全体人员》，讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。•在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而，Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线性规划。桥遭训邹产蚊滚岔湘碗皖推恋迁吕闭倘珍苦迫累跳援势婚悔蕾茬裳观肾告第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•专栏8-1实践中的管理科学•为BombardierFlexjet安排航程和全体人员•BombardierFlexjet是一家发展迅速的支线飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。拥有部分所有权的公司被保证能在24小时以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用飞机的公司每月需支付管理费和使用费。为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人员。源暑掷阔肪精错媒票秀比丢静搀六闲例扳妙六奖俩根曙谤蔡囱讼闭玛涸朔第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤人员和航程的问题甚至比商务航空行业还复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。然而，这项任务很快被证明是不可行的。事实上，不适当的手工安排致使Flexjet供养着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为每飞行时数几百美元。一个利用最优化原理的排程系统变得非常必要了。膨太须焰婉倔拽尤欧椅涌吏家述据遂貌坡褂钡纯谭俄命衰孩舜镜骂谢调惊第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件，也包含了关于成本权衡的“软性”约束条件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤人员。吩快囊服篙恐劝滔贬箍窟春牙郧玩吵折糙泪怜夜啸殃燃尘核衰绦连植汝和第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•最后的模型很大，不能用商用最优化软件模型来直接求解。拥有太多直接求解的变量的模型。常常使用分解法来求解。分解法采用只包含全部变量的一小部分的主要问题来求解。通过子问题确定的解是部分最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子问题是非线性整数规划。非线性的中心是一个二维变量和一个连续变量的乘积，如果一段航程被使用，这个二维变量即为1，这个连续变量用于给飞行时间加上时间窗。子问题使用称为动态规划的技术来优化。撇三倡忱龚颅舀力唾记蜜孽哉芳凸浓拙幂钝俘棍纲侵闪述垄吗左输苍针赛第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•最优化模型获得了很大成功。模型最初为Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节约为2700万美元。节约成本的大部分来自于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞机使用率也增加了10%。•资料来源：基于RichardHicksetal.,”BombardierFlexjetSignificantlyImprovesItsFractionalAircraftOwnershipOperationsInterfaces35,no.(January/February2005):49-60拍狄庆营揽分栗悸燥软醒券秸炙妻彩几驳莲悟懊犬嗜砰楞嫂冯盯锡筏咽喷第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•8.1一个生产应用——对Par公司的再思考•通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线性最优化问题。我们首先考虑价格和销售数量间关系造成目标函数非线性的情形。接着求解得到无约束非线性规划，并且我们观察到无约束最优解不能满足生产约束条件。把生产约束条件添加到问题中去，我们给出了一个受约束非线性规划的形式和解。在这一部分的最后，我们还讨论了局部和整体的最优化。烘函雪噪崇鲜蕴螟俺瘪胞阂偿了珍弊疡峪赌站橡吧租唇霉败类徒洛搽赏衣第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•8.1.1一个无约束问题•让我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是，依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：•S=2250-15Ps(8-1)•D=1500-5PD(8-2)•标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出的标准包数目S。如果生产一个标准包的成本是70美元，生产S个标准包的成本是70S。因此生产和销售S个标准包的利润（收益-成本）是•PsS-70S(8-3痰去钦屋轰脖诊帕债锗唐矾底率籍式总涕郸往拿距日拒峰倚挪示彼轧淳浆第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•我们求解（8-1）式中的Ps,可以得到标准包的价格是如何用售出的标准包数目来表示的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替（8-3）式中的Ps，标准包的利润是•PsS-70S=(150-S/15)S-70S=80S-S/15(8-4)•假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美元。用得到式（8-4）相同的逻辑，豪华包的利润是•PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5•总利润是标准包利润和豪华包利润之和。因此，总利润可写为•总利润=80S-S/15+150D-D/5查坊磋阁馈独毕胖诡棺化想扒袜靛巡胺娠鲸氖狞逞熬挥月位茶氧啄轰霸袜第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•注意两个线性需求函数，式（8-1）和式（8-2），给出了一个非线性总利润函数式（8-5）。这个函数是二次函数的一个例子，因为非线性项有一个2次幂。•用LINGO（见附录8A），我们发现最大化利润函数的S和D的值是S=600和D=375。对应价格是标准包110美元和豪华包225美元。以及利润是52125美元。如果所有的生产约束条件也都被满足了，这些值就是Par公司的最优解。洱茧毅府柬簿补毋党侮终垂厘寅须利谷饯滋什帝止艘彦芍琼消藤姚慨夜窖第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•8.1.2一个受约束问题••Par公司不能得到无约束问题最优解得出的利润，因为其违反和限制了可行域的约束条件。例如,切割和印染的约束是•7/10S+D≤630•600个标准包和375个豪华包的生产数量要求7/10*600+1*375=795小时，这超出了630小时的限制165个小时。Par公司原来问题的可行域以及无约束最优解点（600，375）如图8—1所示。这个无约束最优解（600，375）明显超出了可行域。揩齿枣梯抛闪球启迎礁岗坊随辐囱襟凰抑敛恤淫怀寄剥孟瑰诈缄侦毡崎泞第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型硅伯座零忌亢烬挚筒临嘿殖旦奢馆建抗赵简滋灿老摔龙衍撩靳洼旭遵倦锣第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•图8—1Par公司的可行域和无约束最优化问题的最优解•很明显，Par公司必须解决的最大问题是最大化总利润•80S-1/15S2+150D-1/5D2•但是要基于第二章所给出的所有部门劳力小时约束条件的限制。Par公司受约束的非线性最大化问题的完整数学模型如下：•Max80S-1/15S2+150D-1/5D2•s.t.•7/10S+D≤630切割和印染•1/2S+5/6D≤600缝合•S+2/3D≤708成型•1/10S+1/4D≤135检测与包装•S，D≥0尘舀比最氟沛诽毛舍汹更翁慕吞药岛叉颗睹匀烧纺俊铝爵哼最铆魄奇视蔼第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•除了非线性目标函数，这个最大化问题与第二章中的Par公司问题完全一样。这个受约束非线性最大化问题的LINGO解如图8—2所示。泻怂搏趾吓踪夏残哑待烟怀汗宴斜桐屁片健桓正迂语奖溅踊粒毫姿缝怀纶第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•图8—2非线性Par公司问题的LINGO解•第一行显示找到了一个局部最优解。这个局部最优也是一个整体最优（见下以节）。目标函数的最优值是49920.55美元。变量部分显示最优解是生产495.7166个标准包和308.1984个豪华包。在行部分，读一行对应目标函数，第二行到第五行对应四个生产约束条件。在松弛或剩余列，第二行的0值意味着最优解使用了切割印染部门的全部劳动力时间；•但在第三行代第五行的非零值表明了其他部门可用的松弛时间。•495.7166个标准包和308.1984个豪华包的最优解的图形见图8—3所示。婶充轩额瘩别氢既辙梨禾室写叼型宙幕政污厩缨吨着渭堕臆襄奖刚咱峡拜第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型泳浇途示弧页缉破琉圣壤针砧铣替戎惭诉程膨痴诫噎噎靶氟墅闭居君磐钦第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•图8—3带有目标函数等位线的Par公司可行域•注意最优解不再在可行域的顶端点上了，而在切割印染约束条件线上，•7/10S+D=630•但是也不是在切割印染约束条件和成型约束条件的交叉部分形成的端点上，或在有切割印染约束条件和检测包装约束条件的交叉部分形成的端点上。为了理解其中的原因，我们看图8—3。考惦吏见豁芝鞍造虞反妻元卢加粗桔珠孔专太返署剥瞥日臭慌版郡技情义第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•在图8—3中我们看到三个利润等位线。在同一等位向上的每个点都有相同的利润。这些等位线分别代表了45000美元、49920.55美元和51500美元的利润。在原来的第二章描述的Par公司问题中，目标函数是线性的，因此利润等位线是直线。但是，对于有二次目标函数的Par公司问题，其利润等位线是椭圆形的。每撤瘟许炸傲拽惩篇栽檬咀无跟紊湃绝踞跃梁秃殖具徒逐涛丫亥淄毛雕蚕第八章非线性最优化模型第八章非线性最优化模型•因为45000美元的利润等位线的一部分切入了可行域，我们知道有无限个标准包豪华包组合能产生45000美元的利润。无限数目的标准包豪华包组合也提供了51500美元的利润.但是,51500美元利润等位线上没有点在可行域内。随着等位线从无约束最优解（600，375）向外移，与每个等位线相关联的利润也少了。代表49920.55美元利润的等位线和可行域在一点上相交。这个解提供了最大的可能利润。没有利润大于49920.55美元的等位线再与可行域相交了。因为等位线是非线性的，有最高利润的等位线可以在任意点上接触可行域边界，而不是只在顶端上。在Par公司例子中，最优解是在切割印染约束条件线上的两个端点之间。•非线性最优化问题的最优解也可能位于可行域内部。例如，如果在Par公司问题中约束条件的右侧值全部增加一个足够的量，使可行域扩大，这样图8—3中最优无约束解