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题型突破（七）新定义问题题型解读新定义学习型阅读理解题,是指题目中首先给出一个新概念或新公式,然后通过阅读题目提供的材料,理解新定义,再通过对新定义的理解来解决题目中提出的问题,其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力,便于学生养成良好的学习习惯.解决此类题的关键是:(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论,尽可能把文字语言转化为图形语言,且注意各种可能的图形分类;(2)揭示新概念的本质,重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”,归纳“举例”提供的做题方法,归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中的问题;(4)准确画图能起到事半功倍的效果.类型1点与图形关系类（针对201729题）1.[2018·怀柔一模]P是☉C外一点,若射线PC交☉C于A,B两点,则给出如下定义:若0PA·PB≤3,则点P为☉C的“特征点”.(1)当☉O的半径为1时.①在点P1(2,0),P2(0,2),P3(4,0)中,☉O的“特征点”是;②点P在直线y=x+b上,若点P为☉O的“特征点”,求b的取值范围;(2)☉C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=x+1与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上的所有点都不是☉C的“特征点”,直接写出点C的横坐标的取值范围.图Z7-1P1(2,0),P2(0,2)②如图,在直线y=x+b上,若存在☉O的“特征点”点P,点O到直线y=x+b的距离m≤2.直线y=x+b1交y轴于点E,过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.因为OH=2,在Rt△HOE中,可知OE=22.可得b1=22.同理可得b2=-22.∴b的取值范围是:-22≤b≤22.类型1点与图形关系类（针对201729题）1.[2018·怀柔一模]P是☉C外一点,若射线PC交☉C于A,B两点,则给出如下定义:若0PA·PB≤3,则点P为☉C的“特征点”.(1)当☉O的半径为1时.②点P在直线y=x+b上,若点P为☉O的“特征点”,求b的取值范围;图Z7-1类型1点与图形关系类（针对201729题）1.[2018·怀柔一模]P是☉C外一点,若射线PC交☉C于A,B两点,则给出如下定义:若0PA·PB≤3,则点P为☉C的“特征点”.(2)☉C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=x+1与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上的所有点都不是☉C的“特征点”,直接写出点C的横坐标的取值范围.图Z7-1(2)x3或x-3.类型1点与图形关系类（针对201729题）2.[2018·延庆一模]平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)与B(x2,y2),如果满足x1+x2=0,y1-y2=0,其中x1≠x2,则称点A与点B互为反等点.已知:点C(3,4).(1)下列各点中,与点C互为反等点;D(-3,-4),E(3,4),F(-3,4)图Z7-1解:(1)F(-3,4)(2)已知点G(-5,4),连接线段CG,若在线段CG上存在两点P,Q互为反等点,求点P的横坐标xp的取值范围;(3)已知☉O的半径为r,若☉O与(2)中线段CG的两个交点互为反等点,求r的取值范围.(2)-3≤xp≤3且xp≠0.(3)4r≤5.类型1点与图形关系类（针对201729题）3.[2018·房山一模]在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(1)已知☉O的半径为1:①在点E(1,1),F-22,-22,M(-2,-2)中,☉O的“梦之点”为;②若点P位于☉O内部,且为双曲线y=𝑘𝑥(k≠0)的“梦之点”,求k的取值范围.(2)已知点C的坐标为(1,t),☉C的半径为2,若在☉C上存在“梦之点”P,直接写出t的取值范围.(3)若二次函数y=ax2-ax+1的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.解:(1)①F②∵☉O的半径为1,∴☉O的“梦之点”坐标为-22,-22和22,22.又∵双曲线y=𝑘𝑥(k≠0)与直线y=x的交点均为双曲线的“梦之点”,∴将-22,-22代入双曲线表达式中,得k=xy=12.∵点P位于☉O内部,∴0k12.类型1点与图形关系类（针对201729题）3.[2018·房山一模]在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(2)已知点C的坐标为(1,t),☉C的半径为2,若在☉C上存在“梦之点”P,直接写出t的取值范围.(2)-1≤t≤3.类型1点与图形关系类（针对201729题）3.[2018·房山一模]在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(3)若二次函数y=ax2-ax+1的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.(3)由“梦之点”定义可得:A(x1,x1),B(x2,x2).则x=ax2-ax+1.整理得ax2-(a+1)x+1=0,解得x1=1,x2=1𝑎.把两个根代入|x1-x2|=2中,即1-1𝑎=2,解得a1=-1,a2=13.当a=-1时,y=-x2+x+1,其顶点坐标为12,54;当a=13时,y=13x2-13x+1,其顶点坐标为12,1112.类型1点与图形关系类（针对201729题）4.[2018·石景山一模]对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A或B为圆心,AB长为半径的圆称为点A,B的“确定圆”.如图Z7-3为点A,B的“确定圆”的示意图.(1)已知点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,3),则点A,B的“确定圆”的面积为;(2)已知点A的坐标为(0,0),若直线y=x+b上只存在一个点B,使得点A,B的“确定圆”的面积为9π,求点B的坐标;(3)已知点A在以P(m,0)为圆心,以1为半径的圆上,点B在直线y=-33x+3上,若要使所有点A,B的“确定圆”的面积都不小于9π,直接写出m的取值范围.图Z7-325π类型1点与图形关系类（针对201729题）4.[2018·石景山一模]对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A或B为圆心,AB长为半径的圆称为点A,B的“确定圆”.如图Z7-3为点A,B的“确定圆”的示意图.(2)已知点A的坐标为(0,0),若直线y=x+b上只存在一个点B,使得点A,B的“确定圆”的面积为9π,求点B的坐标;图Z7-3(2)∵直线y=x+b上只存在一个点B,使得点A,B的“确定圆”的面积为9π,∴☉A的半径AB=3且直线y=x+b与☉A相切于点B,如图,∴AB⊥CD,∠DCA=45°.①当b0时,点B在第二象限.过点B作BE⊥x轴于点E,∵在Rt△BEA中,∠BAE=45°,AB=3,∴BE=AE=322.∴B-322,322.②当b0时,点B'在第四象限.同理可得B'322,-322.综上所述,点B的坐标为-322,322或322,-322.类型1点与图形关系类（针对201729题）4.[2018·石景山一模]对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A或B为圆心,AB长为半径的圆称为点A,B的“确定圆”.如图Z7-3为点A,B的“确定圆”的示意图.(3)已知点A在以P(m,0)为圆心,以1为半径的圆上,点B在直线y=-33x+3上,若要使所有点A,B的“确定圆”的面积都不小于9π,直接写出m的取值范围.图Z7-3(3)m≤-5或m≥11.类型1点与图形关系类（针对201729题）5.[2018·丰台一模]对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1,W2给出如下定义:点P为图形W1上一点,点Q为图形W2上一点,当点M是线段PQ的中点时,称点M是图形W1,W2的“中立点”.如果点P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立点”M的坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22.已知,点A(-3,0),B(0,4),C(4,0).(1)连接BC,在点D12,0,E(0,1),F0,12中,可以成为点A和线段BC的“中立点”的是;(2)已知点G(3,0),☉G的半径为2.如果直线y=-x+1上存在点K可以成为点A和☉G的“中立点”,求点K的坐标;(3)以点C为圆心,半径为2作圆.点N为直线y=2x+4上的一点,如果存在点N,使得y轴上的一点可以成为点N与☉C的“中立点”,直接写出点N的横坐标的取值范围.图Z7-4点A和线段BC的“中立点”是点D,点F类型1点与图形关系类（针对201729题）5.[2018·丰台一模]对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1,W2给出如下定义:点P为图形W1上一点,点Q为图形W2上一点,当点M是线段PQ的中点时,称点M是图形W1,W2的“中立点”.如果点P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立点”M的坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22.已知,点A(-3,0),B(0,4),C(4,0).(2)已知点G(3,0),☉G的半径为2.如果直线y=-x+1上存在点K可以成为点A和☉G的“中立点”,求点K的坐标;图Z7-4(2)点A和☉G的“中立点”在以点O为圆心、半径为1的圆上运动.因为点K在直线y=-x+1上,设点K的坐标为(x,-x+1),则x2+(-x+1)2=12,解得x1=0,x2=1.所以点K的坐标为(0,1)或(1,0).类型1点与图形关系类（针对201729题）5.[2018·丰台一模]对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1,W2给出如下定义:点P为图形W1上一点,点Q为图形W2上一点,当点M是线段PQ的中点时,称点M是图形W1,W2的“中立点”.如果点P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立点”M的坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22.已知,点A(-3,0),B(0,4),C(4,0).(3)以点C为圆心,半径为2作圆.点N为直线y=2x+4上的一点,如果存在点N,使得y轴上的一点可以成为点N与☉C的“中立点”,直接写出点N的横坐标的取值范围.图Z7-4(3)(说明:点N与☉C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时,符合题意.)点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2.类型1点与图形关系类（针对201729题）6.[2018·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,对于点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在一点T不与O重合,使点P关于直线OT的对称点P'在☉C上,则称P为☉C的反射点.图Z7-5为☉C的反射点P的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0),☉A的半径为2,①在点O(0,0),M(1,2),N(0,-3)中,☉A的反射点是;②点P在直线y=-x上,若P为☉A的反射点,求点P的横坐标的取值范围;(2)☉C的圆心在x轴上,半径为2,y轴上存在点P是☉C的反射点,直接写出圆心C的横坐标x的取值范围.图Z7-5类型1点与图形关系类（针对201729题）解:(1)①☉A的反射点是M,N.②设直线y=-x与以原点为圆心,半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D,E,F,G,过点D作DH⊥x轴于点H,如图.可求得点D的横坐标为-322.同理可求得点E,F,G的横坐标分别为-22,22,322.点P是☉A的反射点,则☉A上存在一点T,使点P关于直线OT的对称点P'在☉A上,则OP=OP'.∵1≤OP'≤3,∴1≤OP≤3.反之,若1≤OP≤3,则☉A上存在点Q,使得OP=OQ,故线段PQ的垂直平分线经过原点,且与☉A相交.因此点P是☉A的反射点.∴点P的横坐标x的取值范围是-322≤x≤-22或22≤x≤322.类型1点与图形关系类（针对201729题）6.[2018·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,对于点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在一点T不与O重合,使点P关于直线OT的对称点P'在☉C上,则称P为☉C的反射点.图Z7-5为☉C的